Zeigen Sie, für alle n ∈ N (natürliche Zahlen) ist an > 3 / Konvergenz rekursiver folge

Question

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand sagen, wie man diese Aufgaben löst? Ich bin am verzweifeln..

Text erkannt:

Aufgabe 4 ((Konvergenz rekursiv definierter Folgen), $2+3+3+2=10$ Punkte). Die Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}$ sei gegeben durch
$$a_{n+1}=\frac{a_{n}}{3}+2, \quad n=0,1,2, \ldots$$
mit dem Startparameter $a_{0}=\pi$
1. Zeigen Sie, für alle $n \in \mathbb{N}$ ist $a_{n}>3$.
2. Zeigen Sie $a_{n}$ is monoton fallend, das heißt $a_{n+1}-a_{n}<0$ für alle $n \in \mathbb{N}$.
3. Nach 1. und 2. wissen wir nun, dass $a_{n}$ konvergiert. Zeigen Sie, dass $x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ die Gleichung
$$x=\frac{x}{3}+2$$
erfüllt.
4. Bestimmen Sie den Grenzwert
$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$$

Wäre euch unendlich dankbar!

Answer 1

Aloha :)

Wenn wir schon mal so eine schöne Bedienungsanleitung zur Analyse der Folge$$a_{n+1}=\frac{a_n}{3}+2\quad;\quad a_0=\pi$$vorgegeben haben, solllten wir diese auch genau so nutzen.

Schritt 1) Wir zeigen durch vollständige Induktion, dass $a_n>3$ für alle $n\in\mathbb N$.

Wegen $a_0=\pi>3$ ist die Verankerung bei $n=0$ klar. Der Induktionsschritt ist nun:$$a_{n+1}=\frac{a_n}{3}+2=\frac{1}{3}\cdot a_n+2\stackrel{(\text{Ind.Vor.:} a_n>3)}>\frac{1}{3}\cdot 3+2=3\quad\checkmark$$

Schritt 2) Wir zeigen, dass $a_n$ monoton fällt. Nach Schritt 1 ist $a_n>3$ bzw. $-a_n<-3$:$$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n}{3}+2-a_n=2-\frac{2}{3}a_n=2+\frac{2}{3}\cdot(-a_n)<2+\frac{2}{3}\cdot(-3)<2-2=0$$Die Folge $(a_n)$ ist also sogar streng monoton fallend.

Schritt 3) Nach Schritt 1 ist die Folge nach unten durch $3$ beschränkt. Nach Schritt 2 ist die Folge streng monoton fallend, d.h. insbesondere $a_n\le a_0=\pi$. Da jede beschränkte, monotone Folge konvergiert, tut uns auch $(a_n)$ diesen Gefallen. Für den Grenzwert $x$ finden wir:$$\left.a_{n+1}=\frac{a_n}{3}+2\quad\right|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\left. \lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{3}+2\right)\quad\right|\text{Grenzwertsätze}$$$$\left. \lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty} a_n}{3}+2\quad\right|x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$$$$x=\frac{x}{3}+2$$

Schritt 4) Zur Bestimmung des Grenzwertes lösen wir die gerade gefundene Gleichung:$$\left.x=\frac{x}{3}+2\quad\right|-\frac{x}{3}$$$$\left.\frac{2x}{3}=2\quad\right|\cdot3$$$$\left.2x=6\quad\right|\colon2$$$$x=3$$Also ist $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=3$.

Comments

Hdgdl vielen dank für die Antworten, du bist die beste!