Hallo :-)
Du musst das gegebene Problem in ein sogenanntes Fixpunktproblem überführen, d.h. eine Fixpunktgleichung aufstellen. Das kann zb so aussehen:
Definiere die Abbildung
F : B1(0)→R2, (xy)↦ ⎝⎛81sin(x+y)−21x+181y2101cos(x2y)+101x2−y⎠⎞
Jetzt ist also die Gleichung F((xy))=(00) zu lösen.
Überführung in ein Fixpunktproblem:
81sin(x+y)−21x+181y2=0⇔x=41sin(x+y)+91y2101cos(x2y)+101x2−y=0⇔y=101cos(x2y)+101x2
Daraus definiert man die Abbildung
ϕ : B1(0)→R2, (xy)↦ ⎝⎛41sin(x+y)+91y2101cos(x2y)+101x2⎠⎞
und die zugehörige Rekursion:
(xn+1yn+1)=ϕ((xnyn))=⎝⎛41sin(xn+yn)+91y2101cos(xn2yn)+101xn2⎠⎞
Jetzt sind zwei Dinge zu zeigen (Aussagen des Banachschen Fixpunktsatzes):
1.) ϕ ist eine Kontraktion:
∃ 0≤L<1 ∀ v,w∈B1(0) : ∥ϕ(v)−ϕ(w)∥1≤L⋅∥v−w∥1
Das L findet man am besten, indem man erstmal ∥ϕ(v)−ϕ(w)∥1 geschickt nachoben abschätzt und man ,,sehen" kann, wie man 0≤L<1 wählen kann.
2.) ϕ ist eine Selbstabbildung.