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Aufgabe:tosolve.png

Problem/Ansatz:
Ich habe aktuell noch einige Probleme mit dem Beweisen. Ich habe damit begonnen die Eindeutigkeit beider Funktionen zu beweisen bin da jedoch nicht sehr weit gekommen. Wie löse ich diese Aufgabe am besten?

von

Hallo,

wir müssen uns erstmal über die Bezeichnung verständigen. Es geht um den Fixpunkt eine Abbildung \(T:\bar{B}_1(0) \to \bar{B}_1(0) \). Oder habt Ihr statt T einen anderen Bezeichner gewählt? Die erste Frage wäre: Wie sieht hier T (oder...) konkret aus? Bildet T (oder...) tatsächlich den Einheitskreis in sich ab? ..

Gruß Mathhilf

Es geht um eine Abbildung im Raum R^2 , von einem Bezeichner weiss ich leider nichts.

Na Ihr müsst doch der Abbildung im SAtz einen Namen gegeben haben

Jedenfalls geht es doch um \(T:\bar{B}_1(0) \to \mathbb{R}^2\) mit

$$T(x,y):=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}\sin(x+y)+\frac{1}{9} y^2 \\ \\  \frac{1}{10}\cos(x^2y)+\frac{1}{10}x^2 \end{pmatrix}$$

Gruß Mathhilf

1 Antwort

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Hallo :-)

Du musst das gegebene Problem in ein sogenanntes Fixpunktproblem überführen, d.h. eine Fixpunktgleichung aufstellen. Das kann zb so aussehen:

Definiere die Abbildung

$$ F:\space \overline{B_1(0)}\to \mathbb{R^2},\space \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}\mapsto \space \begin{pmatrix}\frac{1}{8}\sin(x+y)-\frac{1}{2}x+\frac{1}{18}y^2\\[10pt]\frac{1}{10}\cos(x^2y)+\frac{1}{10}x^2-y \end{pmatrix} $$

Jetzt ist also die Gleichung \(F\left(\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\) zu lösen.

Überführung in ein Fixpunktproblem:

\(\frac{1}{8}\sin(x+y)-\frac{1}{2}x+\frac{1}{18}y^2=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\sin(x+y)+\frac{1}{9}y^2\\[10pt]\frac{1}{10}\cos(x^2y)+\frac{1}{10}x^2-y=0 \Leftrightarrow y=\frac{1}{10}\cos(x^2y)+\frac{1}{10}x^2\)

Daraus definiert man die Abbildung

$$ \phi:\space \overline{B_1(0)}\to \mathbb{R^2},\space \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}\mapsto \space \begin{pmatrix}\frac{1}{4}\sin(x+y)+\frac{1}{9}y^2\\[10pt]\frac{1}{10}\cos(x^2y)+\frac{1}{10}x^2 \end{pmatrix} $$

und die zugehörige Rekursion:

$$ \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1} \end{pmatrix}=\phi\left(\begin{pmatrix}x_n\\y_n \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}\sin(x_n+y_n)+\frac{1}{9}y^2\\[10pt]\frac{1}{10}\cos(x_n^2y_n)+\frac{1}{10}x_n^2 \end{pmatrix} $$


Jetzt sind zwei Dinge zu zeigen (Aussagen des Banachschen Fixpunktsatzes):

1.) \(\phi\) ist eine Kontraktion:

\(\qquad \exists \space 0\leq L<1\space\space \forall \space v,w\in \overline{B_1(0)}:\space \|\phi(v)-\phi(w)\|_1\leq L\cdot \|v-w\|_1\)

Das \(L\) findet man am besten, indem man erstmal \(\|\phi(v)-\phi(w)\|_1\) geschickt nachoben abschätzt und man ,,sehen" kann, wie man \(0\leq L<1\) wählen kann.


2.) \(\phi\) ist eine Selbstabbildung.

von 12 k

Die Aufgabe schlägt die 2-Norm vor, nicht die 1-Norm

Gruß Mathhilf

Nein. Der abgeschlossene Ball benutzt zwar die 2-Norm, aber nicht die vorgeschlagenen Abschätzungen aus dem Hinweis.

Ok, man kann da mit verschiedenen Normen für die 2 Bedingungen arbeiten. Allerdings sehe ich nicht, inwieweit die Hinweise zu den trigonometrischen Funktionen eine Norm-Wahl nahelegen. Dann würde ich auch die max-Norm in Betracht ziehen.

Egal der Erfolg heiligt die Mittel. Mal sehen, was dorfschmied daraus macht.

Gruß Mathhilf

inwieweit die Hinweise zu den trigonometrischen Funktionen eine Norm-Wahl nahelegen

Für mich ist das hier erstmal so das naheliegenste gewesen. Aber vielleicht eignet sich auch hier die max-Norm viel besser. Naja, solange man eine Norm finden kann und damit beide Aussagen zu Banach zeigen kann, ist man auf der sicheren Seite.

Allerdings sehe ich nicht,...

Man kann beim Einsetzen mit der Dreiecksungleichung schonmal bisschen abschätzen und dann die Hinweis-Abschätzungen benutzen. Joa...

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