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Aufgabe:

Sei \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) oder \( \mathbb{C} \), sei \( V \) ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Für nichtleere Teilmengen \( M, N \subseteq V \) sei \( d(M, N):=\inf \{\|x-y\|: x \in M, y \in N\} \), der Abstand von \( M \) und \( N \).
(a) Sei \( 0 \neq w \in V \) und \( L:=\mathbb{K} w \). Zeige
\( d(v, L)^{2}=\frac{1}{\|w\|^{2}}\left(\|v\|^{2}\|w\|^{2}-|\langle v, w\rangle|^{2}\right) \)
für \( v \in V(\operatorname{mit} d(v, L):=d(\{v\}, L)) \).
(b) Für \( i=1,2 \) sei \( w_{i} \in V \) und \( U_{i} \subseteq V \) ein Untervektorraum. Für den Abstand der affinen Unterräume \( w_{i}+U_{i} \) von \( V \) gilt
\( d\left(w_{1}+U_{1}, w_{2}+U_{2}\right)=d\left(w_{1}-w_{2}, U_{1}+U_{2}\right) \)
(c) Berechne im \( \mathbb{R}^{3} \) den Abstand der beiden Geraden \( L_{i}=w_{i}+\mathbb{R} u_{i}(i=1,2) \) mit \( w_{1}=(1,2,0)^{t}, w_{2}=(2 a, 1, a)^{t}, u_{1}=(1,1, a)^{t}, u_{2}=(0,0,1)^{t} \) und einem
Parameter \( a \in \mathbb{R} \)

Text erkannt:

Sei \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) oder \( \mathbb{C} \), sei \( V \) ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Für nichtleere Teilmengen \( M, N \subseteq V \) sei \( d(M, N):=\inf \{\|x-y\|: x \in M, y \in N\} \), der Abstand von \( M \) und \( N \).
(a) Sei \( 0 \neq w \in V \) und \( L:=\mathbb{K} w \). Zeige
$$ d(v, L)^{2}=\frac{1}{\|w\|^{2}}\left(\|v\|^{2}\|w\|^{2}-|\langle v, w\rangle|^{2}\right) $$
für \( v \in V(\operatorname{mit} d(v, L):=d(\{v\}, L)) \).
(b) Für \( i=1,2 \) sei \( w_{i} \in V \) und \( U_{i} \subseteq V \) ein Untervektorraum. Für den Abstand der affinen Unterräume \( w_{i}+U_{i} \) von \( V \) gilt
$$ d\left(w_{1}+U_{1}, w_{2}+U_{2}\right)=d\left(w_{1}-w_{2}, U_{1}+U_{2}\right) $$
(c) Berechne im \( \mathbb{R}^{3} \) den Abstand der beiden Geraden \( L_{i}=w_{i}+\mathbb{R} u_{i}(i=1,2) \) mit \( w_{1}=(1,2,0)^{t}, w_{2}=(2 a, 1, a)^{t}, u_{1}=(1,1, a)^{t}, u_{2}=(0,0,1)^{t} \) und einem
Parameter \( a \in \mathbb{R} \).



Problem/Ansatz:

Hallo,

ich habe diese Aufgabe vor mir und habe leider absolut keinen Ansatz, wie ich voran komme. Deswegen frage ich hier um Hilf

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Hallo,

für die erste Frage, Bestimmung von d(v,L) ist doch folgende Funktion nach unten abzuschätzen:

$$f(s):=\|v-sw\|, \text{  mit } s \in \mathbb{K}$$

oder einfacher, wie ja auch durch die Aufgabe nahegelegt:

$$f(s):=\|v-sw\|^2, \text{  mit } s \in \mathbb{K}$$ 

Berechne dazu f unter Ausnutzung der Eigenschaften des Skalarprodukts und versuche dann im reellen Fall f zu minimieren. Nimm das Ergebnis als Idee auch für den komplexen Fall.

Gruß Mathhilf

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