Sei \( n \in \mathbb{N} \) und \( A \in \operatorname{Mat}_{n}(K) \). Erläutern Sie, warum folgendes Verfahren zur Überprüfung der Invertierbarkeit von \( A \) und ggf. zu der Bestimmung der inversen Matrix \( A^{-1} \) führt. Man modifiziere \( A \) durch Hintereinanderausführung elementarer Zeilenumformungen, mit dem Ziel, \( A \) in die Einheitsmatrix zu transformieren. Entsteht dabei eine Nullzeile, so ist \( A \) nicht invertierbar. Erreicht man die Einheitsmatrix, so ist \( A \) invertierbar und die gleichen Zeilenumformungen in derselben Reihenfolge angewandt auf die Einheitsmatrix liefern die inverse Matrix \( A^{-1} \).
