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Aufgabe 3: Wahrscheinlichkeiten

Ein Kartenstapel bestehend aus 52 = 4*13 Karten in den Spielfarben Karo, Herz, Pik und Kreuz und den Werten 2, 3, 4, ... ‚ 9, 10, B, D‚K‚ A sei perfekt gemischt, d.h. wir nehmen an, dass jede Reihenfolge der 52 Karten gleich wahrscheinlich ist.

a) Wir betrachten die folgenden Ereignisse:
A1: die oberste Karte hat die Spielfarbe Karo.
A2: die unterste Karte hat die Spielfarbe Pik.
A3: die unterste Karte ist eine 10.
A4: die obersten zwei Karten haben die gleiche Spielfarbe.

Bestimmen Sie alle Wahrscheinlichkeiten Pr(Ai ∩ Aj) für alle Konstellationen 1 ≤ i < j ≤ 4 und stellen Sie damit fest, welche der Ereignispaare unabhängig sind.
 

Ich habe hier über binomialverteilung versucht aber kam nichts logisches raus.

Danke falls ihr mir helfen könnt :)

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Ich berechne mal die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse

Ein Kartenstapel bestehend aus 52 = 4*13 Karten in den Spielfarben Karo, Herz, Pik und Kreuz und den Werten 2, 3, 4, ... ‚ 9, 10, B, D‚K‚ A sei perfekt gemischt, d.h. wir nehmen an, dass jede Reihenfolge der 52 Karten gleich wahrscheinlich ist.

a) Wir betrachten die folgenden Ereignisse:

A1: die oberste Karte hat die Spielfarbe Karo.
P(A1) = 13/52 = 1/4 = 0.25 == 25%


A2: die unterste Karte hat die Spielfarbe Pik. 
P(A2) = 13/52 = 1/4 = 0.25

A3: die unterste Karte ist eine 10.
P(A3) = 4/52 = 1/13

A4: die obersten zwei Karten haben die gleiche Spielfarbe.
P(A4) = (52*12) / (52* 51) = 12/51

Bestimmen Sie alle Wahrscheinlichkeiten Pr(Ai ∩ Aj) für alle Konstellationen 1 ≤ i < j ≤ 4 und stellen Sie damit fest, welche der Ereignispaare unabhängig sind.

Nun einige Schnittereignisse

Es gilt 4 mal, d.h. immer wenn i=j: P(Ai n Ai) = P(Ai)   und nicht (P(Ai))^2     Ai ist sicher nicht unabhängig von Ai.  Ist auch nicht gefragt, da i<j vorausgesetzt wird.

P(A1 n A2) = 13/52 * 13/51

'oben 13 günstige und 52 mögliche' und dann 'Unten 13 günstige und 51 mögliche Ausfälle'.

P(A1 n A2) ≠ 13/ 52 * 13/52 daher: A1 und A2 sind nicht unabhängig

Wenn du soweit draus kommst, kommst du bestimmt selber weiter.

P(A1 n A4) = P(1. und 2. Karte Karo) = 13*12 / (52*51) 

P(A1)*P(A4) = 13/52 * 12/51. Dasselbe wie eben. Daher: A1 und A4 sind unabhängig.

P(A2 n A3) = P( zuunterst Pik 10) = 1/52

P(A2)*P(A3) = 13/52 * 1/13 = 1/52. Daher: A2 und A3 sind unabhängig.

P(A1 n A3) = P (zuoberst Karo und zuunterst 10) 

= P(zuoberst Karo 10 und zuunterst andere 10) + P(zuoberst Karo nicht 10 und zuunterst irgendeine 10)

= 1*3/(52*51) + 12*4/(52*51) =                51/52*51 = 1/52

P(A1) * P(A3) = 13/52 * 1/13 = 1/52. Daher: A1 und A3 unabhängig. 

P(A2 n A4) = P( unterste Pik und oberste 2 gleiche Spielfarbe) 

= P(unterste und oberste 2 Pik) + P(unterste Pik und oberste 2 gleich aber nicht Pik)

= (13*12*11)/(52*51*50) + (13*39*12)/(52*51*50)

= (1716 +  6084)          /(52*51*50) = 7800/ (52*51*50)

P(A2) * P(A4) = 13/52 * 12/51 = 13*12*50 / (52*51*50) = 7800/ (52*51*50) Dasselbe.

Daher: A2 und A4 sind unabhängig.

P(A3 n A4) = P( zuoberst 2 gleiche Spielfarben und zuunterst eine 10)

P(zuoberst 2 gleiche Spielfarben ohne 10 und zuunterst beliebige 10)

+P(zuoberst 2 gleiche Spielfarben wobei die obere davon die 10 ist und zuunterst eine andere 10)

+P(zuoberst 2 gleiche Spielfarben wobei die untere davon die 10 ist und zuunterst eine andere 10)

= 48*11*4/ (52*51*50) + 4*12*3/(52*51*50) +   48*1*3             /(52*51*50) =                 2400   /(52*51*50)

P(A3) * P(A4) = 4/52 *12/51 * 50/50 =    2400/(52*51*50). Dasselbe.

Daher: A3 und A4 sind unabhängig.

Rechne das Ganze noch sorgfältig nach. Du darfst natürlich zwischendrinn auch mal gekürzte Resultate angeben. 

Beantwortet von 142 k
ich verstehe nicht was man mit abhängig und unabhängig meint. kannst du mir den rest auch bitte zeigen der schnittereignisse

'unabhängig' soll bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit für das eine Ereignis nicht davon abhängt, ob das andere Ereignis eintritt.

Üblicherweise ist das etwa so definiert: Zwei Ereignisse A und B heissen unabhängig voneinander, wenn  die Produktregel P(A)*P(B) = P(A n B) gilt.

Wenn nicht, sind sie nicht unabhängig voneinander.

Deshalb kann man 'abhängig' und 'unabhängig'  mit der Produktregel überprüfen.

Ich rechne mal noch etwas weiter und ergänze das in ein paar Minuten oben.

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