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Aufgabe:

Gegeben sei die Menge der komplexen, spurlosen 2 x 2-Matrizen.
sl (2, ℂ) = {A e ℂ(2,2)| tr{A} = 0}

Diese e soll representieren = Element A ist in der Menge C enthalten.


Hinweis: Eine spurlose Matrix A: tr(A)=0, d.h. die Summe der Diagonalelemente ist 0.


a) Zeigen Sie, dass sl (2, ℂ) ein Untervektorraum des Vektorraums der 2x2-Matrizen
bildet.


b) Zeigen Sie, dass durch ⟨A|B⟩ = tr {A†B} ein Skalarprodukt auf sl (2, ℂ) definiert
wird.


c) Die folgenden drei Matrizen bilden eine Basis von sl (2, ℂ)

1 = 1   0        B2= 1   1    B3= 1      1-i
    0  -1                1  -1           1+i  -1


Bestimmen Sie aus diesen eine Orthonormalbasis {S1; S2; S3} nach dem Gram-Schmidt-Verfahren.

d) Bestimmen Sie die Darstellung der Matrix

= 0  0                                                                                                                                                                                               1  0

in der Orthonormalbasis {S1; S2; S3}


Problem: Ich habe keine annung wie man überhaupt anfangen soll. Kann jemand mich da retten?

                                                                  

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1 Antwort

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Hallo

a) Vektorraumaxiome nach weisen:  Nullmatrix gehört dazu , Summe von 2 spurlosen wieder spurlos, Produkt mit z aus C wieder spurlos,

b) ein Skalarprodkr muss linear in beiden Elementen sein, das zeigen.

c) Gram- Schmitt mit dem gegebenen Skalarprodukt,

Avatar von 106 k 🚀

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