Huygens-Problem, Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt

Question

Aufgabe:

Huygens-Problem. A und B werfen abwechselnd ein Würfelpaar in dieser Reihenfolge. A gewinnt, wenn er eine Augenzahl von 6 würfelt, bevor B eine Augenzahl von 7 würfelt, wobei B in diesen Fall gewinnt. Wenn A das Spiel beginnt, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt.

Adam hat folgendes berechnet:

$$P[A] = \sum \limits_{k\space=\space0}^{\infty} P[A\space gewinnt\space beim\space k + 1ten\space Wurf\space des\space Würfels] = \sum \limits_{k\space=\space0}^{\infty} q_1^kq_2^kp_1 = \frac{p_1}{1 - q_1 q_2}$$

Wobei:

$$p_1 = P[A\space gewinnt\space beim\space Würfelwurf] = \frac{5}{36},\space\space\space q_1 = 1 - p_1 = \frac{31}{36},$$

$$p_2 = P[B\space gewinnt\space beim\space Würfelwurf] = \frac{6}{36},\space\space\space q_2 = 1 - p_2 = \frac{30}{36};$$

folglich,

$$P(A) = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{31}{36} * \frac{30}{36}} = \frac{30}{61} \approx 49.18$$

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz warum die Lösung (A Gewinnchance) durch (1 - A Verlustchane * B Verlustchance) ist und warum bei dieser Lösung A beginnt und nicht B, bzw. was müsste man ändern wenn B beginnt?

Wäre für jede Hilfe dankbar!

LG,

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P.S.: Kleiner Fehler, das Ergebnis ist in Prozent!