Unstetige Funktion stetig machen // Definitionsbereich finden

Question

Aufgabe:

2. (Hier werden auch die Rechnungen/Begründungen bewertet.) Bestimmen Sie diejenigen Stellen $x \in \mathbb{R}$, an denen die nachstehenden Funktionen nicht definiert sind. und untersuchen Sie, ob man $f$ an diesen Stellen so definieren kann, dass eine stetige Funktion $\bar{f}$ auf ganz $\mathbb{R}$ entsteht:
(a) $f(x)=\frac{x^{2}+5 x+6}{x+2}$,
(b) $f(x)=\frac{x^{3}-5 x^{2}+3 x+9}{(x-3)^{2}}$
(c) $f(x)=\frac{1}{2-\exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right)}$,
(d) $f(x)=\exp \left(-\frac{1}{x}\right)$.

ich habe ein Problem mit der Aufgabenstellung.

Was ist mit "ob man f an diesen Stellen so definieren kann, dass ... entsteht" gemeint?

Bei (a) weiß ich, dass sie bei x = -2 nicht definiert ist.

Bei (b) weiß ich, dass sie bei x= -3 nicht definiert ist.

Aber wie soll ich aus der an der Stelle unstetigen Funktion eine stetige machen?

Vielen Dank für Eure Tipps & bleibt gesund!

Answer 1

Bestimme die Nullstellen des Nenners und faktorisiere die Zähler bei a und b.

Dann kürzen, was sich kürzen lässt.

(hebbare Definitionslücken)

a) x²+5x+6= (x+2)(x+3)

x+2 kürzt sich raus, dann -2 einsetzen -> f(-2)= 1

Man kann so die Lücke schließen.

Comments

Vielen Dank! Das hat mir sehr geholfen! Beste Grüße

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Meinst du, du könntest mir noch einen Tipp zum Faktorisieren bei (c) und (d) geben ? Die (b) habe ich mit Polynomdivision gelöst.