Aufgabe:
su
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
a) Sei \( f:\left[t_{0}, t_{f}\right] \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) stetig und lokal Lipschitz in \( x \). Falls eine Konstante \( \omega \geq 0 \) existiert, sodass
$$ f(t, x) \cdot x \leq \omega\|x\|_{2}^{2} $$
für alle \( (t, x) \in\left[t_{0}, t_{f}\right] \times \mathbb{R}^{n} \) gilt, dann existieren alle Lösungen des AWPs
$$ \begin{aligned} \dot{x} &=f(t, x) \\ x\left(t_{0}\right) &=x_{0} \end{aligned} $$
global nach rechts. Hinweis: Untersuche \( \varphi=\|x\|_{2}^{2} \) und \( \varphi(t) e^{-2 \omega\left(t-t_{0}\right)} \).
b) Zeigen Sie, dass das system
$$ \begin{array}{l} \dot{u}=a-b u+u^{2} v-u \\ \dot{v}=b u-u^{2} v \end{array} $$
mit \( a, b>0 \) für \( u_{0}, v_{0}> \) eindeutig bestimmte Lösungen besitzt, die für \( t \geq 0 \) global definiert sind und positiv bleiben.
a)
Meine eigentliche Idee war es, die globale existenz der Lösungen zu zeigen, in dem man eine eindeutige stetige Lösung der Fixpunktgleichung zeigt.
Also parallel zum Beweis von Picard-Lindelöf.
Da bin ich aber gar nicht weiter gekommen.
Wie der Hinweis mir helfen soll weiß ich auch nicht..
b) Kann ich dafür die a) nutzen oder sind die Aufgabenteile unabhängig voneinander?
Achja online Uni ist ziemlich ätzend weil man nie mal jemanden im Fachschaftsraum nach Hilfe fragen kann, deswegen hoff ich, dass mich hier jemand durchs Semester begleitet :D
Liebe Grüße
