0 Daumen
69 Aufrufe

Aufgabe:

Ermitteln sie alle lokalen & globalen Maxima & Minima von

\(f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\)

unter der Nebenbedingung \( z^{2}=x^{2}+y^{2} \quad \) & \( \quad x-2 z=3 \)

mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren. Geben Sie die Geometrische Bedeutung Ihrer Lösung an.


Problem/Ansatz:

Also ich bin soweit gekommen, dass ich die Gleichung aufgestellt habe und die einzelnen Ableitungen gebildet habe. Ich bin mir aber jetzt nicht sicher, wie ich hier weitermachen sollte bzw. was der nächste Schritt ist. Könnte mir den jemand erklären? Danke!

\(L(x, y, z, \lambda, \mu)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\right)+\mu(x-2 z-3)\)


\( \begin{array}{ll}L_{x}=2 \lambda x+2 x+\mu & =0 \\ L_{y}=2 \lambda y+2 y & =0 \\ L_{z}=-2 \lambda z+2 z-2 \mu & =0 \\ L_{\lambda}=x^{2}+y^{2}-z^{2} & =0 \\ L_{\mu}=x-2 z-3 & =0\end{array} \)

von

2 Antworten

0 Daumen

Hallo

erst mal die einfachsten lösen

Ly=0  gibt  y=0 oder 2λ+2=0  das zweite führt zu μ=0

das erste zu x^2-z^2=(x+z)*(x-z)=0

dann weiter machen.

lul

von 86 k 🚀
0 Daumen

Aloha :)

Wie haben eine zu optimierende Funktion \(f\) und 2 konstante Nebenbedingungen \(g_1;g_2\):$$f(x;y;z)=x^2+y^2+z^2$$$$g_1(x;y;z)=x^2+y^2-z^2=0\quad;\quad g_2(x;y;z)=x-2z=3$$

Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein:$$\operatorname{grad}f=\lambda\cdot\operatorname{grad}g_1+\mu\operatorname{grad}g_2$$$$\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}2x\\2y\\-2z\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$$Diese Aussage ist äquivalent damit, dass die 3 Gradienten linear abhängig sind. Das ist genau dann der Fall, wenn die Determinante verschwindet:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}2x & 2x & 1\\2y & 2y & 0\\2z & -2z & -2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}0 & 2x & 1\\0 & 2y & 0\\4z & -2z & -2\end{array}\right|=4z\cdot(-2y)=-8yz\implies \underline{\underline{y\cdot z=0}}$$

Diese Lagrange-Forderung kombinieren wir mit den beiden Nebenbedingungen:$$yz=0\implies y^2z^2=0\stackrel{g_1}{\implies} y^2(x^2+y^2)=0\implies y=0$$$$x^2+y^2-z^2=0\stackrel{y=0}{\implies} x^2-z^2=0\implies z^2=x^2\implies z=\pm x$$$$z=x\stackrel{g_2}{\implies}x-2x=3\implies -x=3\implies x=-3\;\land\;z=-3$$$$z=-x\stackrel{g_2}{\implies}x+2x=3\implies 3x=3\implies x=1\;\land\;z=-1$$

Damit haben wir zwei Kandidaten für Extremstellen gefunden:$$K_1(-3|0|-3)\quad;\quad K_2(1|0|-1)$$Wegen \(f(\vec k_1)=18\) und \(f(\vec k_2)=2\) haben wir:

\(K_1\) als globales Maximum und \(K_2\) als globales Minimum.


Die geometrische Deutung ist etwas fummelig...

Die zu optimierende Funktion \(f\) beschreibt eine Kugeloberfläche.

Die Nebenbedingung \(g_1\) berschreibt einen "Doppelkegel" mit Spitze im Ursprung, der sich in postitiver \(z\)-Richtung nach oben öffnet und in negative \(z\)-Richtung nach unten.

Die Nebenbedingung \(g_2\) beschreibt eine Gerade.

von 118 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community