Grenzwert berechnen mit L'Hospital. lim (1 + x/n)n = ex

Question

Aufgabe 42 (Der Satz von l'Hopital):

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

a) $\lim \limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{\frac{\pi}{2}-\arcsin x}{\sqrt{1-x}}$

b) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \sqrt[x]{1+\arctan x}$

c) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \quad(x \in \mathbb{R})$

d) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x+\cos x}{x}$

Die ersten 2 Aufgabe habe ich schon gelöst, aber bei den hinteren 2  komm ich nicht weiter. Die 3. Aufgabe habe ich mit Hilfe der Exponentialfunktion umgeschriben: $e^{n*ln(1+\frac{x}{n})}$

Ich weiß, dass die Lösung $e^x$ ist, also muss $\lim ln(1+\frac{x}{n})n = x$ sein, aber wie komme ich da drauf?

Bei der 4. Aufgabe bin ich verunsichert, weil es sich in dieser Aufgabe eigentlich um L'Hospital handelt, aber ist dort der limes nicht einfach unendlich weil sin x + cos x gegen 1 geht bei x gegen 0?

Comments

zu 4) Ist schon möglich, dass man erkennen soll, dass irgendwo Hospital nicht benutzt werden kann.

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ich versteh nicht wie mir das jetzt weiter hilft den limes von n*(ln(1+x/n)) zu berechnen..

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Komme mit der 2. Aufgabe nicht klar. Wie kann ich hier Hospital anwenden?

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Hier würde ich Dir empfehlen das als e-Funktion zu schreiben. Also:

$$(1+\arctan(x))^{1/x} = e^{\frac1x\cdot\ln(1+\arctan(x))}$$

Damit sollte es klappen, denke ich ;)

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Danke für deine Antwort! Damit klappt es tatsächlich, auch wenn es wirklich viel zum Rechnen ist.

Wie bist du darauf gekommen, dass man das als e-Funktion schreiben kann? Oder darf man das beim arctan immer?

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Nun, spätestens wenn es in der Überschrift "l'Hospital" heißt, ist klar, dass man hier nur l'Hospital verwenden kann, wenn das ganze im Exponenten steht, also auf einem "Bruchstrich" ;). Das hat nicht explizit mit dem arctan(x) zu tun, sondern vielmehr, dass Basis und Exponent je von x abhängig sind. Da empfiehlt es sich, es mit der e-Funktion zu probieren ;).

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Werde mir das für die Zukunft merken. Vielleicht kann ich das ja noch einmal gebrauchen.

Jetzt habe ich doch noch eine Frage. Habe die 1. Aufgabe jetzt auch gerechnet und habe als Ergebnis 1 raus. Stimmt das? Kontrolliere zwar meine Ergebnisse immer mit Wolfram, aber aus irgendeinem Grund kann ich da nicht arcsin eingeben.

Also, ich habe Zähler und Nenner abgeleitet. Für den Zähler habe ich -1/√(1-x2) . Für den Nenner habe ich -x/√(1-x2) .

Dann habe ich den Doppelbruch aufgelöst und die Wurzeln weggekürzt. Dann bleibt bei mir 1/x über. Nach einsetzen gibt das 1. Was habe ich jetzt falsch gemacht. Die Ableitungen?

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Die Ableitung des Zählers ist richtig. Beim Nenner musst Du Dich aber verguckt haben, was die Aufgabenstellung angeht? Da haben wir nur g(x) = √(1-x). Nichts quadratisches^^.

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Hoppla, dann habe ich für die Ableitung im Nenner -1/(2*√(1-x)). Komme ich jetzt damit zum Ziel?

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Yup, damit sollte es klappen. Zur Kontrolle -> Ich habe √2 am Ende ;).

Answer 1

lim n*(ln(1+x/n))           |Bruch draus machen

= lim (ln(1+x/n)) /(1/ n)           |da n gegen unendlich. Hospital: oben und unte nach n ableiten

= lim ((1/(1+x/n)) *(-x/(n²)) / (-1/n²))      |kürzen
=  lim ((1/(1+x/n)) *x)                | n gegen unedlich
= (1/1)*x = x 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+%28cos+x+%2B+sinx%29%2Fx zeigt übrigens auch, dass der Grenzwert x-->0 nicht existiert. Links- und rechtsseitigen Grenzwert besser direkt bei 

f(x) = (sinx + cosx)/x betrachten.