Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten koeffizienten

Question

Hallo, ich komme mit der folgenden Aufgabe nicht zurecht. Es handelt sich um eine DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Aufgabe: Gegeben ist das Anfangswertproblem: y′′′ − 3ay′′ + 3a²y′ − a³y = 0 mit y(0) = 3, y(0)= 3a, y"= a2

Man soll diese DGL in ein DGL-System erster Ordnung in der Form    d/dt z (Vektor) = Az(Vektor) umwandeln, wobei

z(Vektor)(0) = zo(Vektor). Und daraus mit dem charakterischen Polynom alle Eigenwerte mit ihrer algebraischen Vielfachheit bestimmen.





Problem/Ansatz:

Ich habe jetzt den Ansatz: d/dt (z1,z2,z3) = d/dt (y, y,y") = (0 1 0, 0  0  1,   a³ -3a² -3a ) ( y, y`,y")

Ich weiß aber leider nicht, wie ich das mit den Eigenwerten machen soll. Ich wäre sehr dankbar auf eine Rückantwort.

Answer 1

Hallo, ich habe erhalten:

d/dt (z1,z2,z3) = d/dt (y, y,y") = (0 1 0, 0  0  1, a^3 -3a^2 3a ) ( y, y,y")

via Regel von Sarrus komme ich auf:

3a λ^2 -λ^3 +a^3 -3 a^2 λ=0 -->charakt. Polynom.

(a -λ)^3= 0

λ_1,2,3= a -->Vielfachheit ist 3

Comments

Hallo,

vielen Dank für die Antwort. Ich hab das jetzt so gemacht. In der nächsten Aufgabe muss man die Eigenvektoren bestimmen. Das habe ich gemacht, aber ich bekomme eine geometrische Vielfachheit von 1 heraus. Habe ich dann falsch gerechnet?

Beste Grüße