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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen E1: x1 + x2 − 2x3 = −1 und E2: 2x1 + x2 − 3x3 = 2

a) ohne Hilfsmittel


Problem/Ansatz:

Wie macht man das, wenn es in der Koordinatenform gegeben ist? Kann das jemand vorrechnen?

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Eine Gerade ist durch 2 Punkte eindeutig bestimmt.

Finde einfach zwei Punkte, deren Koordinaten beide Gleichungen des Gleichungssystems erfüllen.

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Was soll ich dann mit den Punkten machen?

Na, die Gleichung einer Geraden aufstellen, die durch diese beiden Punkte geht.

Kann man nicht einfach x2 „löschen“, indem man die Gleichungen subtrahiert. Dann aus der neuen Gleichung x1 herausfinden?

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Aloha :)

Wir formen eine der beiden Ebenengleichungen in die Parameterform um. Die Koordinatengleichung für \(E_1\) können wir sehr leicht nach \(x_1\) umstellen:$$x_1+x_2-2x_3=-1\quad\implies\quad x_1=-1-x_2+2x_3$$Damit haben wir die Parameterform schon gefunden:

$$E_1\colon\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-x_2+2x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$$Wir ersetzen noch \(x_2\) durch \(s\) und \(x_3\) durch \(t\), um gleich ein Durcheinander zu vermeiden:$$E_1\colon\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$$

Jetzt setzen wir die Koordinaten von \(E_1\) in die Koordinatengleichung von \(E_2\) ein:$$2=2x_1+x_2-3x_3=2(-1-s+2t)+s-3t=-2-s+t\quad\implies\quad t=4+s$$

Dieses \(t\) setzen wir in die Parameterform von \(E_1\) ein und erhalten die Schnittgerade:$$g\colon\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+(4+s)\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+8\\0\\0+4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1+2\\1+0\\0+1\end{pmatrix}$$$$g\colon\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\0\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$

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