Bestimmen sie die Schnittgerade g der Ebenen E1 und E2

Question

Aufgabe:

Erste Ebene: E:\( \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix} \) + r \( \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix} \) + s \( \begin{pmatrix} 0\\-4\\3 \end{pmatrix} \)

Zweite Ebene: E: -6x+4y+3z=-12

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie man dies berechnen soll. Wäre es möglich ausführlich zu erklären?

Answer 1

E1: X = [1, 2, 0] + r·[1, 2, -3] + s·[0, -4, 3] = [r + 1, 2·r - 4·s + 2, 3·s - 3·r]

E1 in E2 einsetzen

- 6·(r + 1) + 4·(2·r - 4·s + 2) + 3·(3·s - 3·r) = -12 --> s = 2 - r

Damit das s in E1 ersetzen

g: X = [1, 2, 0] + r·[1, 2, -3] + (2 - r)·[0, -4, 3] = [1, -6, 6] + r·[1, 6, -6]

Answer 2

E: x=(1/2/0)+r*/1/2/-3)+s*(0/-4/3)

F: -6*x+4*y+3*z=12

1) Schritt: (x/y/z)  aus E: ausrechnen

2) Schritt: (x/y/z) in F: einsetzen

3) aus 2) nach s=... umstellen

4) s=... in Ebene E: einsetzen ergibt eine Geradengleichung der Form g: x=(ax/ay/az)+r*(mx/my/mz)

Ist sehr viel Rechnerei,was mir hier zu viel ist und auch das Risiko für Rechenfehler ist mir zu hoch.

Hier eine durchgerechnete Beispielaufgabe:

A: 4*x+3*y+6*y=36

B: x=((0/0/3)+r*(3/2/-1)+s*(3/0/-1)

aus B: 

x-Richtung: x=0+r*3+s*3

y-Richtung: y=0+r*2+s*0

z-Richtung: z=3+r*(-1)+s*(-1)

in A:  ergibt s=3-2*r

in B:  ergibt die Schnittgerade g: x=(9/0/0)+r*(-3/2/1)

Comments

Ist sehr viel Rechnerei,was mir hier zu viel ist und auch das Risiko für Rechenfehler ist mir zu hoch.

Das verstehe ich jetzt nicht. Wenn du schon den kompletten Rechenweg von Mathecoach nacherzählt hast (wo ist der Mehrwert, vom gezielten Einsatz von Fettdruck abgesehen?), hättest du doch auch seinen Rechenweg abschreiben und stilvoll garnieren können.

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Ich habe das nicht nacherzählt,sondern Mathecoach war schneller als ich.

Mathecoach hatte seinen Betrag schon abgeschickt,während ich noch am tippen war.

Dies ist eine Musteraufgabe,die ich in meinen Unterlagen habe mit durchgerechneter Beispielaufgabe.

Das Ergebnis siehst du in meinen Beitrag.

Answer 3

Aloha :)

Wandle die erste Ebene von der Parameterform in die Koordinatenform um:$$\vec n=\left(\begin{array}{c}1\\2\\-3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}0\\-4\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\-3\\-4\end{array}\right)$$$$E_1:\;\left(\begin{array}{c}-6\\-3\\-4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\-3\\-4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\0\end{array}\right)=-12$$$$E_1:\;-6x-3y-4z=-12$$$$E_1:\;6x+3y+4z=12$$Zusammen mit der Koordinatenform der anderen Ebene haben wir also:$$\begin{array}{r}E_1: & 6x &+3y &+4z &=&12\\E_2: & -6x &+4y &+3z &=&-12\end{array}$$Wir addieren beide Gleichungen und finden:$$7y+7z=0\quad\Leftrightarrow\quad z=-y$$Das setzen wir in die erste Gleichung ein und finden:$$6x+3y-4y=12\quad\Leftrightarrow\quad6x-y=12\quad\Leftrightarrow\quad y=6x-12$$Damit haben wir die Schnittgerade gefunden:$$\vec x=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\6x-12\\-6x+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\-12\\12\end{array}\right)+x\cdot\left(\begin{array}{c}1\\6\\-6\end{array}\right)$$Das kann man noch einfacher schreiben:$$\vec x=\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}1\\6\\-6\end{array}\right)$$

Comments

Natürlich geht das auch so. Wenn ich aber deinen Aufwand mit dem Dreizeiler vom Mathecoach vergleiche, muss ich an den Begriff "verschlimmbessern" denken.