Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen bzgl Folgen und lim/sup

Question

Aufgabe:Zeige oder Wiederlege folgende Aussagen (Folge).

Eine Abbildung ℕxℕ→ℝ ,(n,m)↦a_n,mdefiniert man analog klassischen Begriff einer reellen Folge als reelle Doppelfolge. Für jeden festen Index n bzw. m ist das Objekt (a_n,m )_m∈ℕ bzw. (a_n,m)_n∈ℕ eine klassische Folge.

Sei nun (a_n,m)_n,m∈ℕ eine reelle Doppelfolge, die außerdem beschränkt ist, d.h. es gibt ein C > 0
sodass |a_n,m| ≤ C für alle n, m ∈ N. Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Es gilt lim(n→∞)  lim (m→∞)  a_n,m = lim (m→∞) lim (n→∞) a_n,m
(b) Es gilt sup(n∈N) sup (m∈N) a_n,m = sup (m∈N) sup (n∈N) a_n,m

Problem/Ansatz:

Ich scheitere leider schon an daran die Aussagen richtig zu verstehen...

Ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen.

Answer 1

Eine Abbildung ℕxℕ→ℝ ,(n,m)↦a_n,m

Stelle dir eine ∞×∞-Matrix vor, also eine Matrix mit abzählbar unendlich vielen Zeilen und Spalten.

        \(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\)

(a) Es gilt lim(n→∞)  lim (m→∞)  a_n,m = lim (m→∞) lim (n→∞) a_n,m

Unter jede Spalte schreibst du den Grenzwert dieser Spalte.

Rechts neben jede Zeile schreibst du den Grenzwert dieser Zeile.

        \(\begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & \to & a_{10}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & \to & a_{20}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & \to & a_{30}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &  & \vdots\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow\\ a_{01} & a_{02} & a_{03} & \dots &  & \end{array}\)

Hat die neue Zeile den gleichen Grenzwert wie die neue Spalte?

        \(\begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & \to & a_{10}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & \to & a_{20}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & \to & a_{30}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &  & \vdots\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow &  &  & \downarrow\\ a_{01} & a_{02} & a_{03} & \dots & \to & ? \end{array}\)

(b) Es gilt sup(n∈N) sup (m∈N) an,m = sup (m∈N) sup (n∈N) an,m

Wie (a), nur das du das Supremum verwendest anstatt des Grenzwerts.

Comments

Der Fragensteller scheint zufrieden. Ich kann den Ausführungen nicht entnehmen: Ja oder Nein?

Gruß Mathhilf

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Es ging ja erst ein mal darum, die Aussage zu verstehen. Ich habe mich mit den Aussagen nicht hinreichend beschäftigt, eine Entscheidung zu treffen.