Zeigen Sie, dass S = R[x] ein Integritätsring ist.

Question

Aufgabe:

Sei R = ℤ/7ℤ und S = R[x]. Zeigen Sie, dass S ein Integritätsring ist.

Problem/Ansatz:

Wie würdet ihr zeigen das S ein Integritätsring ist?

Mein Ansatz war folgender:

1. Zeigen, dass R ein Integritätsring ist

Um zu zeigen das S ein Integritätsring ist, müssen wir zeigen das S keine Nullteiler hat.

Es seien f und g zwei Elemente aus S.

Angenommen beide Elemente sind ungleich dem Nullpolynom, dann sei m der Grad von f und n der Grad von g. Deswegen sind f_m und g_n die höchsten von Null verschiedenen Koeffizienten von f bzw. g. Das Produkt fg hat als höchsten Summanden den Wert f_mg_nX^m+n . Ist f_g ≡ 0, so müssen alle Koeffizienten Produktes 0 sein. Angefangen beim höchsten. Aus f_mg_n= 0 folgt f_m =0 oder g_n = 0, da R ein Integritätsring ist.

Widerspruch zur Annahme, dass f und g ungleich dem Nullpolynom sind.

Ich bin mir allerdings nicht sicher ob man das so zeigen kann.

Answer 1

Sagen wir es mal so: Du hast dir den richtigen Ansatz überlegt, aber machst dann etwas komplett anderes. :D

Ist R ein Integritätsring, so ist R[x] ein Integritätsring. (Scheinbar habt ihr das schon bewiesen und das ist auch der richtige Ansatz)

Also hast du das Problem schon mal reduziert, d.h du musst schon mal nicht mit irgendwelchen Graden eines Polynoms arbeiten, denn R = Z/7Z.

Jetzt musst du zeigen, dass R = Z/7Z ein Integritätsring ist und ja genau, du musst nur zeigen, dass R keine Nullteiler außer die 0 selbst, was hier die Klasse von [0]₇ ist.

Auch eine gute Hilfe dafür könnte sein, dass R immer genau dann ein Integritätsring ist, wenn für a,b ∈ R gilt: ab=0 ⇒ a=0 ∨ b=0, falls das schon bewiesen wurde.

Das ist bei weitem einfacher als mit irgendwelche Polynomen rumzurechnen, auch wenn das durchaus möglich ist. Und das, was du versucht hast, ist schwer zu durchblicken. Das hört sich so an, als ob du außerhalb deines Posts schon bewiesen hast, dass R ein Integritätsring ist. Aber wenn du das getan hast, dann folgt direkt, dass R[x] auch ein Integritätsring ist.