Aufgabe:
Für eine natürliche Zahl \( N \) sei
$$ \varepsilon(N):=\cos (2 \pi / N)+i \sin (2 \pi / N) $$
Ferner sei \( R_{N}:=\{0,1, \ldots, N-1\} \) und
\( S_{N}:= \) Menge aller Abbildungen \( f: R_{N} \rightarrow \mathbb{C} \)
Mit der punktweise definierten Addition und Skalarmultiplikation ist \( S_{N} \) ein \( \mathbb{C} \)-Vektorraum mit Basis \( \chi_{a}, a \in R_{N} . \) Dabei sind die charakteristischen Funktionen \( \chi_{a}: R_{N} \rightarrow \mathbb{C} \) wie folgt definiert:
$$ \chi_{a}(b):=\left\{\begin{array}{ll} {1,} & {a=b} \\ {0,} & {a \neq b} \end{array}\right. $$
Die lineare Abbildung \( F_{N}: S_{N} \rightarrow S_{N}, f \mapsto F_{N}(f), \) sei gegeben durch $$ F_{N}(f)(b):=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum \limits_{c \in R_{N}} f(c) \varepsilon(N)^{c \cdot b} $$
a) Zeigen Sie, dass $$ F(N):=\left(\frac{1}{\sqrt{N}} \varepsilon(N)^{a \cdot b}\right)_{a, b \in R_{N}} \in \operatorname{Mat}(N \times N, \mathbb{C}) $$ die Matrix zu \( F_{N} \) bezüglich der Basis \( \chi_{a}, a \in R_{N}, \) von \( S_{N} \) ist.
b) Beweisen Sie, dass \( F_{N}^{4}= \) id gilt.
c) Zeigen Sie, dass alle Eigenwerte von \( F(N) \) zu der Menge \( W_{4}=\left\{w \in \mathbb{C}: w^{4}=1\right\} \) gehören.
d) Zeigen Sie, dass \( F_{N} \) bijektiv ist und berechnen Sie \( F_{N}^{-1} \)
Hinweis zu b): Zeigen Sie zunächst, dass \( F_{N}\left(\chi_{a}\right)=\frac{1}{\sqrt{N}} \lambda_{-a} \) gilt, wobei \( \lambda_{a}: R_{N} \rightarrow \mathbb{C} \) durch \( \lambda_{a}(b):=\varepsilon(N)^{-a b} \) definiert ist. Beweisen Sie weiter: \( F_{N}\left(\lambda_{a}\right)=\sqrt{N} \chi_{a} ; \) benutzen Sie dabei die Polynomidentität \( t^{N}-1=\left(t^{N-1}+t^{N-2}+\ldots+t+1\right)(t-1) \)
Aufgabe 4 ist mit der davorigen Aufgabe verbunden. Ich weiß wie man die Eigenwerte etc. ausrechnet, aber ich weiß nicht wie ich F(3) schreiben soll:
(4) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix \( F(3) \) aus Aufgabe ( 3) und bestimmen Sie zu jedem dieser Eigenwerte eine Basis des entsprechenden Eigenraums. Hinweis. Sei \( A \in \operatorname{Mat}(n \times n, \mathbb{C}) \) diagonalisierbar und sei \( P_{A}(t)=\prod \limits_{\nu=1}^{r}\left(t-\lambda_{\nu}\right)^{e_{\nu}} \) das charakteristische Polynom. Dann gilt: Spur \( (A)=\sum \limits_{\nu=1}^{r} e_{\nu} \lambda_{\nu} \) sowie \( \operatorname{det}(A)=\prod \limits_{\nu=1}^{r} \lambda_{\nu}^{e \nu} \)
