Lineare Abbildung Bijektiv

Question

Hi, wäre super wenn mir jemand bei der Aufgabe helfen könnte.

Gegeben sei eine lineare Abbildung T: V→W, diese sei bijektiv.

zu zeigen : T^-1:W→V und T^-1 ist linear.

nunja ich habe mir überlegt, dass T^-1 ja auch bijektiv sein müsste und beide Mengen W und V müssten auch gleichmächtig sein. Aber wie folgt daraus die Linearität?

vielen Dank für eure Hilfe

Grüße

Answer 1

Für alle u ∈ W gilt: T(T ^-1 (u) ) = u   weil T wegen der Bijektivität auch Umkehrabbildung von T^-1 ist     (1)

Für alle a,b ∈ T gilt:  T(a+b) = T(a) + T(b)  wegen der Linearität von T      (2)

Seien x,y ∈ W

T ^-1 (x + y )   

= T ^-1 ( T (T^-1 (x )) + T (T ^-1 (y )) )      nach (1)

= T ^-1 ( T (T ^-1 (x) + T ^-1 (y)) )            nach  (2)

= T ^-1 (x) + T ^-1 (y) ,  T ist also linear

Gruß Wolfgang

Answer 2

Wenn \(T\) bijetiv ist, gibt es zu jedem \(w\in W\) genau ein \(v\in V\) mit \(w=T(v)\). Ausserdem ist \(T\) linear. Zu zeigen ist, dass auch \(T^{-1}\) linear ist. $$T^{-1}(w_1+w_2)=T^{-1}(T(v_1)+T(v_2))=\ldots=T^{-1}(w_1)+T^{-1}(w_2).$$ Die Luecken darfst Du ausfuellen.