Allgemeine Lösung der Differentialgleichung y`- 3y= x·e^{4x}

Question

Gegeben sei die Differentialgleichung 1. Ordnung:

y`- 3y= x·e^{4x}

Man bestimme ihre allgemeine Lösung y(x).

Answer 1

Inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung:

y'(x) - 3*y(x)  = x*e^4x

Lösung ist y(x) = y_h(x) + y_p(x)        (Lösung der homogenen Gleichung + partikuläre Lösung)

a) Homogene DGL:

y'(x) - 3*y(x)  = 0  = dy/dx - 3*y(x)

Trennen der Variablen:

dy/y(x) = 3  dx

Integrieren:

ln y(x) = 3*x + C

Daraus folgt:

 y_h(x) = C * e^3x

Partikuläre Lösung:

Variation der Konstanten:

y (x) = C(x) * e^3x   und  y ' (x) = C'(x) * e^3x + C(x) * (3*e^3x)

Einsetzen in DGL: C'(x) * e^3x + C(x) * (3*e^3x) - 3* C(x) * e^3x = x*e^4x

⇒ C'(x) = x*e^x

Trennen der Variablen: dC = x * e^x dx

Integrieren:   C (x) = e^x * (x-1)

in y(x) einsetzen: y_p(x) = e^x *(x-1) * e^3x  = (x-1) * e^4x

Allgemeine Lösung:

y(x) = c * e^3x + (x-1) * e^4x

Answer 2

Hi,

bestimme über y = e^{hx} und dem charakteristischen Polynom die homogene Lösung:

h-3 = 0

h = 3

Die homogene Lösung also y_h = c*e^{3x}

Für die rechte Seite wähle den Ansatz: y = (ax+b)e^{4x}

Damit ist y' = (4ax+4b)e^{4x} + ae^{4x}

Einsetzen:

(4ax+4b)e^{4x} + ae^{4x} - (3ax+3b)e^{4x} = xe^{4x}

axe^{4x} + (a+b)e^{4x} = xe^{4x}

 

Koeffizientenvergleich:

a = 1

(a+b) = 0

--> a = 1, b = -1

Die partikuläre Lösung ist y_p = xe^{4x} - e^{4x}

Die Gesamtlösung:

y = y_h+y_p = c*e^{3x}+xe^{4x}-e^{4x}

 

Grüße

Comments

kann ich diesen lösungsweg´immer anwenden?

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Der rechte Seite Ansatz funktioniert eventuell nicht immer, sonst aber ja.

Den rechte Seite Ansatz kannste mal googlen. Gibt ein paar Ansätze die man wissen sollte.

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wie würdest du den schwierigkeitsgrad dieser aufgabe festlegdn. sollen ingeneursgrundlagen sein. etwa 10 min zeit

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Hmm, 10min sind auf jeden Fall ausreichend.

Unteres Mittel, wenn überhaupt. Das kommt allerdings auch auf die Mittel an, die einem zur Verfügung stehen.

Die homogene Lösung ist sehr einfach und wenn man dann noch mit dem Ansatz der rechten Seite vertraut ist, ist das relativ einfach zu rechnen. Beim Ansatz der rechten Seite gibt es zum Beispiel auch den "Resonanzfall". Der liegt hier nicht vor, was die Sache eben wieder vereinfacht^^.