Metrische Räume - Lemma unklar

Question

ich habe im Skript folgende Lemma, leider verstehe ich nicht genau was damit gemeint ist.

Kann mir das eventuell einer erklären?

-> das Thema ist metrische Räume

LG

Text erkannt:

Lemma 1.2:
Jede nichtleere Menge kann mit einer Metrik versehen werden.
Beweis. Setze \( d(x, y):=\left\{\begin{array}{l}0, \text { falls } x=y \\ 1, \text { sonst }\end{array}\right. \). Hierfür gelten die Abstandsaxiome (D1)-(D4).

Answer 1

Das Lemma sagt, dass du aus einer nicht leeren Menge einen metrischen Raum basteln kannst.

Wie?

Man braucht bloß eine Abstandsfunktion. Im Beweis wird beispielsweise diskrete Metrik genommen.

Zum Beispiel laut Lemma kann die Menge M={Katze, Baum} zu einem metrischen Raum gemacht werden. Setze

d(Katze,Katze):=0

d(Katze,Baum):=d(Baum,Katze):=1

d(Baum,Baum):=0.

Damit ist d eine Metrik.