Bestimmen Sie alle a ∈ R, für die f invertierbar ist.

Question

würde mich extrem freuen, wenn jemand einen Ansatz bzw. sogar eine Lösung für die unten angegebene Aufgabe geben kann. Meine Berechnung führt nur zu falschen Ergebnissen und ich komme bei der Aufgabe nicht mehr weiter. Vielen Dank schon einmal für jede Antwort :)

Aufgabe:

Für alle a ∈ R seien f_a und Aa f_a : ℝ³ → ℝ³ mit f_a((x, y, z)^T) = (a z + x + y, a z + 2 x + y, x + y + z)^T

(a) Bestimmen Sie alle a ∈ R, für die f invertierbar ist. Mit folgendem Satz:

Seien (R,+,·,0,1) ein kommutativer Ring mit Eins und A ∈ Mn(R).
Dann gelten:
(1) AA^∗ = A^∗A = (detA)I_n

(2) A invertierbar in M_n(R) ⇐⇒ detA invertierbar in R.
(3) Ist A invertierbar in M_n(R), so folgt
A^-1 = (detA)^-1 A*

(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von f₀
(c) Bestimmen Sie eine Matrix U ∈ M₃(ℝ) derart, dass U⁻¹A₀U Diagonalgestalt hat.

Answer 1

Aufgabe a

Berechne die Determinante der Matrix A

1 1 a

2 1 a

1 1 1

Für welches a gilt det(A)=0? Für diese(s) a ist die Matrix nicht invertierbar.

Aufgabe b und c

Bestimme das char. Polynom der Matrix

1 1 0

2 1 0

1 1 1

und bestimme daraus die Eigenwerte sowie zugehörige Eigenvektoren. Fasse letztere zu U zusammen, invertiere U, und berechne U^-1AU.

Mfg

EL