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- Allgemein-verständliche Kurzfassung -

Bekanntlich hat es eine Unmenge von Lösungsversuchen des Großen Satzes von Fermat gegeben. Es ist deshalb nicht verwunderlich, wenn man zunächst auf Skepsis und Ablehnung stößt, wenn jemand behauptet, eine Lösung des Problems gefunden zu haben. Dennoch habe ich es vor einigen Jahren gewagt, das Problem „Fermat“ anzugehen. Ein Grund war auch, mich im Ruhestand mathematisch beweglich zu halten. Nach meiner Überzeugung konnte ich das Problem letztlich lösen, und habe meine Arbeit unter fermat-2.hjkp.de im Internet veröffentlicht.

Meine Arbeit stellt sich bescheiden als „Ein Beitrag zum Großen Satz von Fermat“ vor. Das Wort „Beweis“ verwende ich in der Überschrift also zunächst nicht. Wenn Sie sich aber, verehrter Leser, die Mühe machen, meinen „Beitrag“ etwas genauer unter die Lupe zu nehmen, dann werden Sie als Mathematiker feststellen, dass es sich um eine seriöse Arbeit handelt. Es würde mich freuen, wenn Sie dann Lust auf mehr bekommen würden. Sie werden sicher nicht enttäuscht werden.

Anmerkung Redaktion: „Ggf. ein neuer Beweis“ zur Überschrift hinzugefügt.


Um von vornherein Klarheit zu schaffen, führe ich die Vermutung von Fermat zunächst einmal an. Sie lautet:

Gegeben sind natürliche Zahlen a und b sowie als Exponent die natürliche Zahl n, wobei \( n>2 \), Es gibt KEINE natürliche Zahl c, so dass die Gleichung erfüllt werden könnte: \(a^{n}+b^{n}=c^{n} \)

Die natürlichen Zahlen sind \( n=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots \} \).

Bei meiner Arbeit habe ich die unter Zahlentheoretikern üblichen Mittel und Wege gewählt:

a) Die Primfaktor-Zerlegung natürlicher Zahlen habe ich angewandt.

b) Die Primheit auftretender Zahlenpaare, wie a und b, angenommen und die Primheit von einem Term mit einem anderen Term gefordert oder falls nötig bewiesen.

Durch diese Methode wird die allgemeine Gültigkeit der Aussagen und der Beweise nicht eingeschränkt.

Die Primfaktor-Zerlegung wird bereits beim Exponenten \( n, n \gt 2 \), vorgenommen. Es wird bewiesen, dass man alle möglichen Exponenten \( n=3 ; 4 ; 5 ; \ldots \) erreicht, wenn man annimmt, dass

Fall I) \( n \) eine ungerade Primzahl \( p \) ist. Also \( p=3,5,7,11, \ldots \)

Fall II) \( n \) eine echte Potenz von 2 ist. Also \( n=4,8,16,32, \ldots \)

In dieser Zusammenfassung wird nur Fall I behandelt \( a^{p}+b^{p}=c^{p}, \quad p=3 ; 5 ; 7 ; 11 ; \ldots \)

und zwar unter der Einschränkung, dass der Exponent \( p \) nicht teilt weder das Argument \( a \), noch \( b \), noch \( c \). Wird diese Einschränkung nicht vorgenommen, dann ist die Behandlung aufwendiger aber nicht unbedingt auch schwieriger. Ich habe diese Fälle ebenfalls behandelt und gelöst.

Wir betrachten zunächst den Term

$$ c^{p}-b^{p} $$

Eine Faktorisierung bietet sich hier geradezu an

$$ \begin{array}{l} c^{p}-b^{p} \equiv(c-b) \cdot S(c ; b) \\ \text { wobei } S(c ; b):=c^{p-1}+c^{p-2} ~b+c^{p-3} ~b^{2}+c^{p-4} ~b^{3}+\ldots \ldots \ldots+c^{2} ~b^{p-3}+{cb}^{p-2}+b^{p-1} \end{array} $$

Es ist leicht einzusehen, dass der Faktor \( S(c; b) \) irgendwie vom Exponenten \( p \) abhängen wird. Während die Argumente \( c \) und \( b \) beliebig gewählt werden können, so dass die Differenz nicht vom Exponenten \( p \) abhängig sein muss. Es stellt sich heraus, und das kann mit einfachen Sätzen aus der Gruppentheorie bewiesen werden, dass die beiden Faktoren zueinander prim sind, falls \( p \) die Differenz \( (c - b) \) nicht teilt. Diese Erkenntnis ist von entscheidender Bedeutung:

Soll Fermat erfüllt sein

\( c^{p}-b^{p}=a^{p} \)

dann müssen wegen ihrer Primheit beide Faktoren jeweils „Fermat-Potenzen“ sein:

\( \begin{array}{l} c-b=x^{p} \\ S(c ; b)=X^{p}, \text { wobei } \operatorname{ggT}\left(x^{p}, X^{p}\right) 0 ! \end{array} \)

Zum Beweis benötigen wir nur die Differenz als Fermat-Potenz; diese aber ist eine Hauptstütze.

Wir betrachten nun den Term \( c^{p}-a^{p} \)
und seine Zerlegung \( c^{p}-a^{p} \equiv(c-a) \cdot S(c ; a) \)

Durch Vertauschung von \( a \) mit \( b \) kann man folgern:

Auch hier müssen die beiden Faktoren zueinander prim sein, falls \( p \) nicht \( (c -a) \) teilt. Und soll Fermat erfüllt sein \( c^{p}-a^{p}=b^{p} \), dann müssen wegen ihrer Primheit beide Faktoren jeweils „Fermat-Potenzen“ sein:

\( c-a=y^{p} \)
\( S(c ; a)=y^{p} ; \) wobei \( \operatorname{ggT}\left(y^{p}, y^{p}\right)=1 \)

Zu guter Letzt kann man auch den Summenterm \( a^{p}+b^{p} \) faktorisieren in \( a^{p}+b^{p}=(a+b) \cdot G(a ; b) \)
wobei \( G=G(a ; b):=a^{p-1}-a^{p-2} ~b+a^{p-3} ~b^{2}-a^{p-4} ~b^{3}+\ldots +- \ldots +a^{2} ~b^{p-3}-ab^{p-2}+b^{p-1} \)

Auch hier sind, das wird gezeigt, die beiden Faktoren zueinander prim, falls \( p \) die Summe \( (a+b) \) nicht teilt, so dass man mit obiger Begründung diese als Fermat-Potenzen annehmen kann:

\( a+b=z^{p} \)
\( G(a ; b)=Z^{p} \), wobei \( g g T\left(z^{p} ; Z^{p}\right)=1 \)

Wiederum benötigen wir für die Bearbeitung nur die Summe.

Aus den drei Gleichungen

$$ \begin{array}{l} c-b=x^{p} \\ c-a=y^{p} \\ a+b=z^{p} \end{array} $$

ermitteln wir die Abhängigkeit der Argumente \( a, b, c \) von den Fermat-Potenzen

$$ \begin{array}{l} 2 a=x^{p}-y^{p}+z^{p} \\ 2 b=-x^{p}+y^{p}+z^{p} \\ 2 c=x^{p}+y^{p}+z^{p} \end{array} $$

Diese Abhängigkeit ist notwendig für eine mögliche Erfüllung der Fermat-Gleichung, aber natürlich nicht hinreichend.

Daraus folgt diese Fermat-Gleichung

$$ (2 a)^{p}+(2 b)^{p}=(2 c)^{p} $$

Wir setzen nun in obige Gleichungen ein und haben die Gleichung

$$ \left(\left(x^{p}-y^{p}\right)+z^{p}\right)^{p}+\left(-\left(x^{p}-y^{p}\right)+z^{p}\right)^{p}=\left(\left(x^{p}+y^{p}\right)+z^{p}\right)^{p} $$

Nach dem binomischen Satz erhalten wir:

Auf der linken Seite: $$ \left[\left(\left(x^{p}-y^{p}\right)+z^{p}\right)^{p}\right]+\left[\left(-\left(x^{p}-y^{p}\right)+z^{p}\right)^{p}\right]=$$

Es werden nur jeweils die ersten beiden Terme angegeben \( \left[\left(x^{p}-y^{p}\right)^{p}+p\left(x^{p}-y^{p}\right)^{p-1} z^{p}+\ldots \right]+\left[\left(y^{p}-x^{p}\right)^{p}+p\left(y^{p}-x^{p}\right)^{p-1} z^{p}+\ldots \right]= \)

Es annullieren sich von den beiden Termen die Summanden Nr. 1, Nr. 3, Nr. 5 usw.

Die Summanden Nr. 2, Nr. 4, Nr. 6 usw. „verdoppeln“ sich und enthalten den Faktor \( z^{p} \) und seine steigenden Potenzen. Der erste Term ist $$ 2 p\left(x^{p}-y^{p}\right)^{p-1} z^{p}+\ldots $$

Folgerung: Die linke Seite ist durch \( z^{p} \) teilbar.

Auf der rechten Seite:

$$ \begin{array}{l} =\left(\left(x^{p}+y^{p}\right)+z^{p}\right)^{p} \\ =\left(x^{p}+y^{p}\right)+2 p\left(x^{p}+y\right)^{p-1} z^{p}+\ldots \ldots \ldots \end{array} $$

Alle weiteren Summanden enthalten wiederum den Faktor \( z^{p} \) und seine steigenden Potenzen.

Wir müssen nun zwei Fälle unterscheiden:

a) Die Potenz \( \left(x^{p}+y^{p}\right)^{p} \) ist nicht durch \( z^{p} \) teilbar \( - \) das ist wohl die Regel. Siehe Satz 6.1/4a)

Damit ist die rechte Seite ebenfalls nicht teilbar durch \( z^{p} \).

In diesem Falle ist die Vermutung von Fermat bestätigt, der Satz also bewiesen.

b) Die Potenz \( \left(x^{p}+y^{p}\right)^{p} \) ist im Sonderfall durch \( z^{p} \) teilbar. Siehe Satz 6.1/4b)

Und damit sind beide Seiten durch \( z^{\text {p }} \) teilbar.

Wenn in diesem Fall beiden Seiten durch \( z^{p} \) teilbar sind, dann ist aber nicht gesagt, dass die beiden Seiten gleich sind. Die Teilbarkeit ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Gleichheit der beiden Seiten.

Dass es auch in diesem Falle mit der Vermutung von Fermat seine Richtigkeit hat, wird in meiner Arbeit durch die Methode des sukzessiven Abstiegs bewiesen. Das Argument c wird durch Teilung mit der Potenz \( z^{p} \) kleiner. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, so dass nach endlich vielen Schritten schließlich zu Recht angenommen werden kann, dass das aus c entstandene Argument nicht mehr als Summe von drei Fermat-Potenzen dargestellt werden kann. Also kann damit keine Fermat-Gleichung mehr gebildet werden.

Auch in diesem Falle ist die Vermutung von Fermat bestätigt, der Satz also bewiesen.

von

Wertung und Begründung

Ich möchte behaupten, dass mein Lösungsweg direkt und geradlinig zum Ziel geführt hat. Ich habe so zu sagen die Direttissima gewählt. Die Beschreitung dieser Route, ich bezeichne sie als „klassische Route“, wurde ermöglicht durch die wichtige Erkenntnis, dass sich die drei oben angeführten Terme zwei Differenzen, eine Summe - in zu einander prime Faktoren zerlegen lassen. Damit habe ich die Fermat-Gleichung gewissermaßen zerlegt, ihr ins Innere geschaut.

Im Übrigen läßt sich unschwer begründen, warum es natürliche Zahlentripel \( (a; b; c) \) gibt, die den Pythagoreischen Lehrsatz erfüllen, nicht aber solche Zahlen für den Großen Satz von Fermat.

Betrachten wir den Term \( c^{p}-b^{p} \).

In diesem Falle soll \( p=2 ; 3 ; 5 ; 7 ; \ldots \) alle Primzahlen umfassen; also auch die Primzahl \( 2 \).

Wenn eine Primzahl \( P \) den Term teilt, \( P \) teilt \( \left(c^{p}-b^{p}\right) \Leftrightarrow P \) teilt \( [(c-b) \cdot S(c ; b)] \)

dann gibt es zwei Möglichkeiten:

Entweder der Faktor \( (c-b) \) wird geteilt durch die Primzahl \( p=p_{1} \) oder der Faktor \( S(c ; b) \) wird geteilt durch die Primzahl \( p=p_{2} \)

Nun lassen sich über die Art und Form der Primzahlen \( p_{1} \) keinerlei Aussagen machen. Das ist auch einleuchtend, denn die Argumente \( c \) und \( b \) können frei gewählt werden.

Andererseits wurde bereits eingangs ausgeführt, dass der Faktor \( S(c ; b) \) und damit die Primzahlen \( p_{2} \) irgendwie von dem Exponenten \( p \) abhängen müssen. Wie in der Arbeit in den Kapiteln 4 und 5.1 hergeleitet, gilt:

\( p_{2}=K \cdot \mathbf{p}+1 \)

Dabei ist \( \mathbf{K} \) eine gerade natürliche Zahl falls \( \mathbf{p}>2 \).

Im Falle „Pythagoras“ \( \mathbf{p}=2 \)
kann \( p_{2} \) jede beliebige Primzahl sein, denn jede beliebige Primzahl \( p_{2}>2 \) läßt sich so darstellen. \( p_{2}=K \cdot 2+1 \) Dabei kann \( K \) eine natürliche Zahl sein. Das ist auch leicht zu erklären, denn \( c \) und \( b \) sind beliebig gewählte Zahlen und damit ist auch ihre Differenz und der Faktor \( S(c ; b)=c+b \) beliebig. Es ist also durchaus möglich, dass diese Summe \( c+b \) eine Quadrat-Zahl ist, während die Differenz \( c-b \) als Quadratzahl gewählt wurde.
M. a. W.: Es gibt wohl Zahlentripel (a; b; c), welche die Pythagoreische Gleichung erfüllen.

Im Falle „Fermat“  \( p \gt 2 \)
gehört \( p_{2} \) bei einem bestimmten \( p \) auch nur bestimmten Primzahlen an. \( p_{2}=K \cdot p+1 \) Dabei ist \( K \) eine gerade natürliche Zahl. \( S(c ; b) \) soll ebenfalls eine Fermat-Potenz sein, dann dürfen die in ihr enthaltenen Primfaktoren nur aus diesen genau bestimmten Primzahlen bestehen. Diese Einschränkung kann der Grund dafür sein, dass der Faktor \( S(c; b) \) es nicht schafft, eine Fermat-Potenz zu bilden.
M. a. W.: Es ist schwierig, vielleicht unmöglich, Zahlentripel \( (a ; b ; c) \) zu finden, welche die FermatGleichung erfüllen.

Diese Ausführungen sind selbstverständlich nur eine Begründung, aber kein Beweis für die historische Vermutung von Fermat.

Im Internet findet man eine Besprechung des Großen Satzes von Fermat und seiner Lösung durch Andrew Wiles. Der Autor führt aus, dass es letztendlich das Bestreben einer Lösung sein muss, zu zeigen, dass die „Anti-Fermat-Welt“ nicht existiert. In diesem Falle existieren dann, wie weiter ausgeführt wird, keine natürlichen Zahlen, welche die Fermat-Gleichung erfüllen. „Fermat-Welt“ und „Anti-Fermat-Welt“ werden explizit nicht erklärt; sie scheinen Begriffe aus der Mystik zu sein.

Die Richtigkeit der Fermatschen Vermutung wurde dagegen durch meine obigen Betrachtungen logisch und klar, rational begründet. Eine Mystifizierung des Problems ist demnach überflüssig. Im Übrigen ist die Zahlenmystik schon vor geraumer Zeit zu Grabe getragen worden; das sollte längst Allgemeingut sein.

Die Beschäftigung mit der Zahlentheorie ist dennoch, oder gerade deswegen löblich. Auch weil die „natürlichen Zahlen von Gott sind“, wie ein bekannter Mathematiker einmal behauptet hat. Gibt es für den menschlichen Verstand etwas Schöneres als sich mit Gottes grandiosem Werk, wenn auch nur mit einem bedeutend-unbedeutenden Teil davon, zu beschäftigen?

Zahlenbeispiele zur Kurzfassung „Ein Beitrag zum Großen Satz von Fermat“

Pythagoras

\( a=1261 \quad b=4620 \quad c=4789 \)
\( a=13 \cdot 97 \quad b=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \quad c = \text { Primzahl } \)
Der ggT zweier Argumente ist jeweils \( 1 \).
\( c^{2}-a^{2}=b^{2} \)
\( 4789^{2}-1261^{2}=4620^{2} \)
\( 22934521-1590121=21344400 \)
\( (c-a) \cdot(c+a)= \)
\( (4789-1261) \cdot(4789+1261)=3528 \cdot 6050 \)

Primfaktorzerlegung
\( 3528=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 \)
\( 6050=2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 11 \)

In der Summe \( 6050 \) kann jede Primzahl ohne irgendeine Bedingung auftreten:
\( 5=2 \cdot 2+1 \)
\( 11=2 \cdot 5+1 \)


Fermat-Terme

1. Beispiel: Differenz

\( c=11 \quad b=2 \quad p=7 \)
\( c^{p}-b^{p}=(c-b) \cdot S(c ; b) \)
\( 11^{7}-2^{7}=9 \cdot 2165227 \)

Die beiden Faktoren sind zueinander prim.

\( =(3 \cdot 3) \cdot(29 \cdot 197 \cdot 379) \)
\( 29=4 \cdot 7+1 \)
\( 197=28 \cdot 7+1 \)
\( 379=54 \cdot 7+1 \)

Es können Primzahlen nur mit dieser Form auftreten.

2. Beispiel: Summe

\( a=11 \quad b=2 \quad p=7 \)
\( a^{p}+b^{p}=(a+b) \cdot G(a ; b) \)
\( 11^{7}+2^{7}=13 \cdot 1499023 \)

Die beiden Faktoren sind zueinander prim.

\( =13 \cdot 43 \cdot 71 \cdot 491 \)
\( 43=6 \cdot 7+1 \)
\( 71=10 \cdot 7+1 \)
\( 491=70 \cdot 7+1 \)

Es können Primzahlen nur mit dieser Form auftreten.


Mainburg, im Mai 2021
Dipl.-Phys. Joseph K. Pfaffinger
Gymnasiallehrer (M / Ph) i. R.
84048 Mainburg
Tel. 08751 / 841482
Mail: j.k.pfaffinger(AT)hjkp.de

1 Antwort

0 Daumen

So auf die Schnelle kann ich das Papier weder durchackern noch beurteilen.

Ich würde mich aber über Reaktionen von anderen (Mathematikern) freuen, die dazu in der Lage sind. Die generelle Erfolgschance von "Laien-Lösungen" für schwierige Probleme ist bekanntlich recht gering - deshalb wäre ich über positive Antworten doch ziemlich verblüfft.

von 2,7 k

@rumar: Ich empfehle Kontaktaufnahme zum Autor J. K. Pfaffinger (E-Mail am Ende seines Kommentars).

Ich hab da zwar mal reingeschaut, hatte dann aber ab Seite 11 (erst einmal) keine Lust mehr. Bis dorthin werden nur Grundlagen behandelt (in schlechtem Layout - warum kein LaTeX??), von denen ich selbst schon das meiste in meiner ZT Einführung beweisen musste. Nichts neues also. Meine Meinung ist aber: entweder lässt man so etwas weg oder man stellt es richtig mit Beweisen oder Verweisen auf Fachliteratur dar. Gerade zweiteres fehlt hier aber einfach. Allgemein wirken Arbeiten komplett ohne Literaturverweise a priori unseriös. In Kapitel 2 wird die "Vielfachendarstellung" eingeführt - in meinen Augen werden hier nur Ideale unter dem Deckmantel einer neuen Bezeichnung verwendet. Ich verstehe aber auch die Motivation dahinter nicht, da eigentlich (zumindest für mich) kein Problem beim Finden geeigneter Bezeichner besteht und es mit Idealen eigentlich auch schon eine geeignete Notation für das gewünschte Ergebnis gibt. Aber nun gut.

Beim scrollen bin ich dann auf "Kapitel 7 Beweis zu Fall II - wird neu bearbeitet" gestoßen. Die Arbeit ist also offensichtlich noch nicht fertig? Wobei... wenn ich die Fallunterscheidung richtig verstehe, dieser Fall eh total unnötig ist, da es hier reicht den Fall n = 4 zu betrachten, der Beweis hierfür aber schon im 17 Jahrhundert oder so erbracht wurde. Wenn solch trivialen Dinge jedoch nicht auffallen, ist das auffällig. V.a. da dieselbe Reduktionstechnik für ungerade Primzahlen richtig angewendet wurde.

Wenn ich allerdings zurückdenke, welchen Aufwand wir in algebraischer Zahlentheorie für den Beweis eines Speziallfalls des Kummer-Theorems

(https://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Primzahl)

aufwenden mussten (zugegeben, der Beweis war nicht lang, aber bis die Theorie dafür stand hat es gedauert.) - und der löst das Problem ja auch nur zu einem minimalen Bruchteil... Da bin ich doch sehr misstrauisch, dass ein Beweis mit solch "simplen" Mittel überhaupt funktionieren kann.

Man darf nicht nur reinschauen, sondern man muß sich mit der Arbeit befassen.

Können Sie bei meinen Beweisen einen entscheidenden Fehler entdecken oder nicht?

Alle andern Bemerkungen sind unnötig.

Das schreibt Ihnen ein Mathematik-Lehrer, der sich mit Mathematik seit Jahrzehnten beschäftigt.

Man darf nicht nur reinschauen

Natürlich darf man nur reinschauen.

sondern man muß sich mit der Arbeit befassen.

Ahja, muss man? Ich denke nicht.

Das schreibt Ihnen ein Mathematik-Lehrer, der sich mit Mathematik seit Jahrzehnten beschäftigt.

Das ist ... nett. Es ist gar nicht so lange her (ich meine 2017 oder 2018), da hat Michael Atiyah - falls Sie diesen nicht kennen: ein britischer Mathematiker, der die Fields-Medallie und den Abelspreis gewonnen hat, also ein weitaus besserer Mathematiker als wir hier alle zusammen - einen Quatschbeweis für die Riemannsche Vermutung öffentlich vorgetragen. Vergangenheit und Reputation sind für die Beurteilung eines Beweises also völlig belanglos.

Alle anderen Bemerkungen sind unnötig!

Bei solchen Antworten schwindet instantan die Lust sich noch weiter mit der Arbeit zu beschäftigen. Mein erster Kommentar enthält schon einige ernst gemeinte Ratschläge.

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