das hier ist meine Aufgabe:
Berechnen Sie mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz (ohne Verwendung der Regel von Sarrus) die Determinante von
$$ \begin{bmatrix}
5 & 0 & 2 & -4\\
3 & -2 & 0 & 1 \\
0 & -2 & 1 & 5 \\
2 & 0 & 4 & 0
\end{bmatrix} $$ .
Geben Sie nun die Determinaten der folgenden Matrizen an und nennen Sie jeweils die
Eigenschaft(en) der Determinate, die Sie verwendet haben.
$$ C_{1}= \begin{bmatrix}
5 & 0 & 6 & -4\\
3 & -2 & 0 & 1 \\
0 & -2 & 3 & 5 \\
2 & 0 & 12 & 0
\end{bmatrix} $$ .
$$ C_{2}= \begin{bmatrix}
5 & 0 & 2 & -4\\
3 & -2 & -2 & 1 \\
0 & -2 & -1 & 5 \\
2 & 0 & 4 & 0
\end{bmatrix} $$ .
$$ C_{3}= \begin{bmatrix}
5 & 0 & 2 & -4\\
0 & -2 & 1 & 5 \\
3 & -2 & 0 & 1 \\
2 & 0 & 4 & 0
\end{bmatrix} $$ .
$$ C_{4}= -2*A^T = \begin{bmatrix}
- 10& -6 & 0 & -4\\
0 & 4 & 4 & 0 \\
-4 & 0 & -2 & -8 \\
8 & -2 & -10 & 0
\end{bmatrix} $$ .
Die Determinante für A habe ich mit Laplace ausgerechnet, diese beträgt 16.
Mein Problem ist eher der zweite Teil. Ich kann zwar Zusammenhänge zwischen meiner Matrix A und den gegebenen sehen und auch in ihren Determinanten (welche ich erstmal mit einem Rechner ausgerechnet habe), weiß aber nicht so recht, wie sich das mathematisch begründen lässt.
Folgende Feststellungen habe ich gemacht:
C1: Hier wurde die dritte Spalte verdreifacht gegenüber A. Gleichzeitig habe ich für die Determinante 48 raus, was auch das dreifache der Determinante von A ist??
C2: Hier kann ich keinen Zusammenhang entdecken, ausser das 2 Zahlen ausgetauscht wurden... Die Determinante ist allerdings weiterhin 16...
C3: Hier wurden die Zeilen 2 und 3 vertauscht, bei der Determinante hat sich das Vorzeichen geändert (= -16).
C4: Ich habe die Matrix transponiert und mit (-2) multipliziert. Als Determinante habe ich 256 erhalten, was die Determinante von A zum Quadrat wäre.
Gibt es hierfür mathematische Regeln/ Eigenschaften von Determinanten die oben beobachtetes stützen oder bin ich auf dem Holzweg?
Wenn ja, könnte es mir jemand eventuell einfach verständlich erklären?
