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Ich Probleme bei folgender Aufgabe:

Sei f:[-1,1] →ℝ, x ↦ \( \sqrt{1-x^2} \) (Also ein Halbkreis mit Radius 1)

I(a) ist die Fläche/Integral unter f von -1 bis a

Δa Ist ein Dreieck mit den Punkten (0,0), (a,0) und (a,f(a))

g(a) misst die Fläche unter Δa für a<0 negativ und a>0 positiv

Sei F_a die Fläche unter f ohne Δa von -1 bis a

Aufgabe: Bestimme den Flächeninhalt |F_a| durch arccos(a)


Ich habe mir das ganze schon auf Geogebra veranschaulicht und geometrisch gesehen ist der Flächeninhalt F_a ja \( \frac{1}{2} \)π-\( \frac{a*f(a)}{2} \)

Ich weiß jetzt aber überhaupt nicht, wie ich da arccos(a) verwenden soll... Kann mir jemand ein Tipp/Ansatz geben?

Schonmal vielen Dank!!!

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Hallo Lilly,

Ich weiß jetzt aber überhaupt nicht, wie ich da arccos(a) verwenden soll...

Der \(\arccos\) von \(a\) liefert Dir den Winkel \(\alpha\). Ich habe Dir \(\alpha\) gelb eingezeichnet.

blob.png

Sei F_a die Fläche unter f ohne Δa von -1 bis a
Bestimme den Flächeninhalt \(|F_a|\) durch arccos(a)

Damit ist \(|F_a|\) die Fläche des Kreisektors, der durch die Punkte \(x=-1\), den Mittelpunkt \(O\) und den Punkt \(P\) begrenzt ist. Die Fläche eines Kreissektors ist \(F = \frac 12 \varphi r^2\). Nun ist hier \(r=1\) und \(\varphi = \pi - \alpha\) bzw. $$|F_a| = \frac 12 \arccos(-a)$$Gruß Werner

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