Fehlerformel für kubische Splines

Question

Aufgabe:

Die Fehlerformel bei der Approximation durch einen kubischen Spline $s$ mit beliebigen Stützstellen $x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}$ und vollständigen Randbedingungen, welcher eine vorgegebene Funktion $f \in C^{4}\left[x_{0}, x_{n}\right]$ interpoliert, d.h. $f\left(x_{i}\right)=s\left(x_{i}\right)$ für $i=0,1, \ldots, n$ sowie $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=s^{\prime}\left(x_{0}\right)$ und $f^{\prime}\left(x_{n}\right)=s^{\prime}\left(x_{n}\right)$, lautet
$$|f(x)-s(x)| \leq \frac{5}{384}\left[\max _{\xi \in\left[x_{0}, x_{n}\right]}\left|f^{(4)}(\xi)\right|\right] h_{\max }^{4} \text { für } x \in\left[x_{0}, x_{n}\right]$$
mit $h_{\max }=\max \left\{\left|x_{i}-x_{i-1}\right|: i=1, \ldots, n\right\} .$
Betrachtet wird die Funktion $f(x)=\frac{1}{2} \ln (x)$ auf dem Intervall $[a, b]=\left[\frac{1}{2}, 2\right]$.

a) Gegeben seien die Stützstellen $x_{0}=0.5, x_{1}=0.9, x_{2}=1.5, x_{3}=2 .$ Schätzen Sie den Approximationsfehler nach obiger Formel auf dem Intervall ab.

b) Seien $x_{i}=a+i h$ für $i=0,1, \ldots, n$ mit $h=\frac{b-a}{n} .$ Bestimmen Sie ein (möglichst kleines) $n$, so dass man einen Fehler kleiner als $10^{-4}$ im ganzen Intervall garantieren kann.

könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Comments

Was verstehst Du an der von Dir angegebenen Formel nicht?

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Wie schätze ich den Approximationsfehler nach auf dem Intervall ab?

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Es sind doch alle Angaben für die Formel explizit vorhanden, warum setzt Du nicht einfach ein?

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so ?

$f(x)=\frac{1}{2} \ln (x)$
$x_{0}=0.5$
$\left|\frac{1}{2} \cdot \ln (0.5)-S(0.5)\right| \leqslant \frac{5}{384}\left[\max \mid f^{(4)}(\varepsilon) | ] \max \left\{\left|x_{1}-x_{0}\right|\right\}^{4}\right.$

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x=0.5 ist eine Stützstelle, dort stimmen Funktion und Spline-Funktion überein. Die Fehelrabschätzung gilt für beliebige x aus dem Intervall.

Du hast hmax nicht richtig ausgewertet. Du hast die die 4. Ableitung von f nicht abgeschätzt.

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- Die 4. Ableitung von f ist -3/ x⁴

- wieso ist hmax falsch?

- ist das also falsch: | 1/2* ln(0.5) -S(0.5) | ? wenn ja was soll ich das machen

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Die 4. Ableitung von f ist -3/ x4

Ich erhalte $-6x^{-4}$. Warum bestimmst Du davon nicht das Maximum, wie in der Formel verlangt?

- wieso ist hmax falsch?

Weil es anders definiert ist, Was soll das max in Deinem Term überhaupt bewirken, wenn danach einfach eine feste Zahl kommt?

ja was soll ich das machen

Damit sollst Du gar nichts machen. Die linke Seite der Formel ist der Ausdruck, der abgeschätzt wird, für beliebiges x im angegebenen Intervall. Du sollst die rechte Seite mit den gegebenen Daten auswerten.

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Ich erhalte $-6x^{-4}$

Uups, hatte den Vorfaktor vergessen.

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a) habe ich schon erledigt.

Könntest du mir bitte bei b) helfen?