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Aufgabe:

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Text erkannt:

Gegeben sind die folgenden Vektorfelder und Kurven
$$ \begin{array}{c} \vec{v}(x, y)=\left(\begin{array}{c} y \\ x-y \end{array}\right), & \vec{x}(t)=\left(\begin{array}{c} t \\ t^{2} \end{array}\right) \quad \text { für } 0 \leq t \leq 1 \\ \vec{w}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} y-x \\ -y \\ 1 \end{array}\right), \quad \vec{y}(t)=\left(\begin{array}{c} -\sin t \\ \cos t \\ t \end{array}\right) \quad \text { für } 0 \leq t \leq 2 \pi \end{array} $$
Berechnen Sie die Kurvenintegrale \( \int \limits_{\vec{x}}\langle\vec{v}, \overrightarrow{\mathrm{d} s}\rangle, \int \limits_{\vec{y}}\langle\vec{w}, \overrightarrow{\mathrm{d} s}\rangle \) direkt und außerdem unter Verwendung des Potentials, falls \( \vec{v} \) bzw. \( \vec{w} \) ein Potenzialfeld ist.




Problem/Ansatz:

Hey, ich brauche dringend Hilfe :“(

Ich verstehe diese Aufgabe garnicht und kann sie nicht lösen.

Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir zeigt wie man das löst oder die Lösung senden und anhand diese Lösung es erklären?

Ich wollte nicht in einem Forum fragen, weil ich es selber schaffen wollte. Aber heute ist der Deadline und Ich muss sie abgeben. Hab die anderen Aufgaben gemacht und es bleibt nur das hier.

von

2 Antworten

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

1) Kurvenintegrale auf direktem Weg

$$I_a=\int\limits_{\vec x_1}^{\vec x_2}\vec v(\vec x)\,d\vec x=\int\limits_{t_1}^{t_2}\vec v(\vec x(t))\,\frac{d\vec x(t)}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\binom{t^2}{t-t^2}\binom{1}{2t}dt=\int\limits_0^1(t^2+2t^2-2t^3)dt$$$$\phantom{I_a}=\int\limits_0^1(3t^2-2t^3)dt=\left[t^3-\frac{1}{2}t^4\right]_0^1=1-\frac12=\frac12$$

$$I_b=\int\limits_{\vec y_1}^{\vec y_2}\vec w(\vec y)\,d\vec y=\int\limits_{t_1}^{t_2}\vec v(\vec y(t))\,\frac{d\vec y(t)}{dt}\,dt=\int\limits_0^{2\pi}\begin{pmatrix}\cos t+\sin t\\-\cos t\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\\1\end{pmatrix}dt=$$$$\phantom{I_b}=\int\limits_0^{2\pi}\left(-\cos^2t-\sin t\cos t+\sin t\cos t+1\right)dt=\int\limits_0^{2\pi}\sin^2t\,dt=\pi$$

2) Kurvenintegrale mit Potentialen

zu a) Nun prüfen wir die Verwenung von Potentialen. Ein Potential für ein Vektorfeld \(\vec F(\vec r)\) exisitert genau dann, wenn die Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind:$$\frac{\partial F_i}{\partial r_k}=\frac{\partial F_k}{\partial r_i}\quad;\quad i\ne k$$Wir prüfen das nach:$$\frac{\partial v_1}{\partial x_2}=\frac{\partial y}{\partial y}=1\quad;\quad\frac{\partial v_2}{\partial x_1}=\frac{\partial(x-y)}{\partial x}=1\quad\checkmark$$

Das Potential finden wir durch Integration$$\frac{\partial\Phi_a}{\partial x}=y\implies\Phi_a=xy+c(y)$$Die Integrations"konstante" \(c(y)\) folgt durch Einsetzen in die 2-te Komponente:$$x-y\stackrel!=\frac{\partial\Phi_a}{\partial y}=x+c'(y)\implies c'(y)=-y\implies c(y)=-\frac{y^2}2$$Ein Potential lautet also:\(\quad\underline{\underline{\Phi_a(x;y)=xy-\frac{y^2}2}}\)

Damit folgt das Kurvenintegral sofort:

$$I_a=\int\limits_{\vec x_1}^{\vec x_2}\vec v(\vec x)\,d\vec x=\int\limits_{\vec x_1}^{\vec x_2}\operatorname{grad}\Phi(\vec x)\,d\vec x=\int\limits_{\vec x_1}^{\vec x_2}\frac{\partial \Phi(\vec x)}{\partial \vec x}\,d\vec x=\int\limits_{\vec x_1}^{\vec x_2}d\Phi(\vec x)=\Phi(\vec x_2)-\Phi(\vec x_1)$$Wenn es ein Potential gibt, kannst du es also direkt als "Stammfunktion" für des Vektorfeld verwenden:$$I_a=\Phi(1;1)-\Phi(0;0)=1-\frac12-0=\frac12$$

zu b) Für den zweiten Fall haben wir ein 3-dimensionales Vektorfeld und können die Integrabilitätsbedingung bequem über die Rotation prüfen. In jeder Komponente der Rotation steht nämlich eine der Integrabilitätsbedingungen:

$$\operatorname{rot}\begin{pmatrix}y-x\\-y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}y-x\\-y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-0\\0-0\\0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\ne\vec 0\implies\text{kein Potential}$$

von 79 k 🚀

Hey wow danke dir ich habe nur noch eine Frage: wäre das falsch wenn ich das so schreibe wie du es geschrieben hast. Also halt erstmal Kurvenintegrale auf direktem Weg dann sage ich ok und jtzt mit Potential und überprüfung ob es ein potenzialfeld hat. Oder soll man nur ein Weg verwenden also entweder 1) oder 2)?

Tut mir leid wenn die frage dumm ist aber diese aufgabe verstehe ich einfach garnicht :(

Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass man die Kurvenintegral beide auf direktem Weg berechnen soll. Dann sollst du zusätzlich prüfen, welches dieser Kurvenintegrale mit Hilfe von einem Potential berechnet werden kann. Wenn das möglich ist, sollst du dann diese Berechnung mit Potential ebenfalls durchführen.

Also im Prinzip in der Reihenfolge, wie ich geantwortet habe ;)

achsoo omg danke dir :) du rettest mich grade.

kann man die Frage löschen? ich will halt nicht dass meine Lehrerin das mitbekommt haha ich will keine minuspunkte

Das Löschen einer regulär gestellten und beantworteten Frage ist nicht vorgesehen. Sie könnte ja auch noch für andere Leute interessant sein. Das wäre auch nicht fair, den Antwortgebern gegenüber, die sich ja die Mühe machen, alles sauber aufzuschreiben.

Ja das verstehe ich voll ich hatte nur angst dass meine Lehrerin das sieht aber ist egal

Sorry haha ich hoffe dass es auch für andere hilfreich ist :)

Ist doch gut, wenn deine Lehrerin das sieht. Dann weiß sie, wie es geht ;)

hahahah da haste recht ; ]

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Hallo,
das Kurvenintegral ist so definiert:
$$\int_0^1 \langle v(x(t)),x'(t) \rangle dt=\int_0^1 \left \langle \begin{pmatrix} t^2\\t-t^2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix} \right \rangle dt =\int_0^1(3t^2-2t^3) dt=0.5$$
Das Feld v besitzt ein Potential, nämlich
$$\Phi(\xi,\eta):=\xi \eta-\frac{1}{2} \eta ^2\text{   denn } \nabla \Phi\xi,\eta)=\begin{pmatrix} \eta\\\xi-\eta\end{pmatrix}=v(\xi,\eta)$$
Damit ist der Wert des Kurvenintgrals auch gleich
$$\phi(x(1))-\phi(x(0))=0.5$$
Das Kurvenintegral im 2. Beispiel berechnet man analog. Allerdings besitzt w kein Potential.
Gruß Mathhilf

von 4,7 k

Ok danke also wie meinst du es mit analog?

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