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\( \underline{\text { Aufgabe } 2} \)
a) Das Volumen \( \mathrm{V} \) einer zylinderförmigen, beidseitig geschlossenen Dose ist \( \mathrm{V}=500 \mathrm{VE} \). Zeigen Sie, dass die Oberfläche der Dose in Abhängigkeit von \( \mathrm{r} \) bei einem fest vorgegebenen Volumen \( \mathrm{V} \) durch die Funktion \( O(r)=2 r^{2} \pi+\frac{1000}{r} \) beschrieben wird.
Wie ist der Radius \( \mathrm{r} \) und die Höhe \( \mathrm{h} \) der Dose zu wählen, damit der Materialverbrauch möglichst gering ist.
b) Eine Glasscheibe hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen von \( 80 \mathrm{~cm} \) und \( 100 \mathrm{~cm} \). Aus dieser Glasscheibe soll eine rechteckige Scheibe für einen Bilderrahmen geschnitten werden. Welche Abmessungen hat das Rechteck, wenn die Fläche möglichst groß sein soll.

Aufgabe:

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V = pi·r^2·h --> h = V / (pi·r^2)

O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·h
O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·(V / (pi·r^2))
O = 2·pi·r^2 + 2·V / r

Bei dir sind 2·V = 1000 und damit

O = 2·pi·r^2 + 1000 / r

Avatar von 477 k 🚀

und bei b ist genau das selbe Prinzip?

Ja das Prinzip ist immer das gleiche. Du musst eine Funktion für das aufstellen, was maximal werden soll, diese ableiten und Null setzen und damit die Unbekannte bestimmen.

b)

f(x) = 80 - 80/100*x

A(x) = x * f(x) = 80*x - 80/100*x^2

A'(x) = 80 - 160/100*x = 0 → x = 50 cm

f(x) = 80 - 80/100*50 = 40 cm

Damit ist das Rechteck 40 cm x 50 cm groß.

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