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Aufgabe:

Die stetige reelle Zufallsvariable X besitzt in Abhängigkeit von c ∈ R die Wahrscheinlichkeitsdichte
fx: R → R, fx(x) := cx(2 − x) · 1(0,2)(x).
(i) Bestimmen Sie die Konstante c ∈ R, sodass fx tatsächlich die Wahrscheinlichkeitsdichte von X ist.
(ii) Berechnen Sie P(X = 2021), P(X ≤ 2021), P(2021 ≤ X ≤ 2022)


Problem/Ansatz:

ich brauch Hilfe bei (ii)

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Der Funktionsterm sieht etwas pathologisch aus.

Ich fürchte, bei der Funktion sind einige Zeichen abhanden gekommen.

Die Funktion lautet : cx(2-x)

Das dahinter bedeutet das x von 0 bis 2 geht

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

(i) Die Wahrscheinlichkeitsdichte muss so normiert werden, dass die Summe über alle Wahrscheinlichkeiten \(1\) ergibt$$1\stackrel!=\int\limits_0^2f(x)dx=\int\limits_0^2\left(2cx-cx^2\right)dx=\left[cx^2-\frac{c}{3}x^3\right]_{x=0}^2=4c-\frac83c=\frac43c\implies c=\frac34$$Die Wahrscheinlichkeitsdichte lautet also:$$f(x)=\frac34\left(2x-x^2\right)\quad;\quad x\in[0;2]$$

Bei (ii) brauchst du eigentlich gar nichts zu rechnen:$$P(X=2021)=0\quad\text{, denn untere und obere Integrationsgrenze sind gleich}$$$$p(X\le2021)=p(X\le2)=1\quad\text{, denn das wurde in (i) genau so normiert}$$$$p(2021\le X\le2022)=P(X\le2022)-P(X\le2021)=1-1=0$$

Avatar von 148 k 🚀

Ah verstehe. Dankeschön

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ich brauch Hilfe bei (ii)

Diese Wahrscheinlichkeiten sind gleich Null, Eins, Null.

Denn Du hast ja geschrieben:

Das dahinter bedeutet das x von 0 bis 2 geht
Avatar von 43 k

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