Nilpotenz und Einheit eines Rings

Question

Aufgabe:

Ein Element x eines Rings R heißt nilpotent, wenn es ein n∈N gibt mit xⁿ = 0.

1) Sei nun x∈R. Gezeigt werden soll, dass 1-x eine Einheit des Rings ist.

2) Es soll eine Einheit f ∈ der Einheit von (Z/45Z [x]) mit deg f>0 gefunden werden.

Kann mir jemnd helfen? Ich habe leider gar keine Ahnung.

Answer 1

Bei (1) soll wohl \(x\) nilpotent sein. Es gebe also ein \(n\in\mathbb N\) mit \(x^n=0\).
Definiere \(\displaystyle y:=\sum_{k=0}^{n-1}x^k\in R\) und rechne nach, dass \((1-x)\cdot y=1\) gilt.

Bei (2) wähle \(f\in\mathbb (Z/45\mathbb Z)[x]\) mit \(f(x)=15x\).
Dann ist \(\deg f=1>0\) und \(f^2(x)=225x^2=0\) (die Nullfunktion in diesem Ring).
Nach (1) ist \(g\in(\mathbb Z/45\mathbb Z)[x]\) mit \(g(x):=1-f(x)=1-15x\) eine Einheit.
Probe: \((1-15x)\cdot(1+15x)=1-225x^2=1\).

Comments

Ich weiß irgendwie nicht so recht, wie ich die Gleichung in (1) umformen soll. Ich tue mich beim Summenzeichnen immer etwas schwer

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Ein konkretes Beispiel mit \(n=4\):
\(\quad(1-x)\cdot(1+x+x^2+x^3)\)
\(=(1+x+x^2+x^3)-(x+x^2+x^3+x^4)\)
\(=1-x^4=1-0=1\).
Allgemein addieren sich, wie bei einer Teleskopsumme, alle Potenzen von \(x\), mit Ausnahme von \(x^0\) und \(x^n\), zu Null. Wegen \(x^n=0\) bleibt nur noch \(x^0=1\) übrig.

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Vielen Dank. Jetzt habe ich es verstanden.