Wie zeigt man dass eine Matrix ein Unterring des Rings der quadr. Matrizen ist und wieso gilt A·(B+C)=(A·B)+(A·C)?

Question

ich habe leider Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:

1. Zeigen Sie, dass (M, +, ·) für M = {\( \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \) | a,b ∈ ℝ } ⊂ ℝ^2×2 ein Unterring des Rings der quadratischen Matrizen (ℝ^2×2, +, ·) ist.

2. In der Vorlesung wurde erwähnt, dass die quadratischen Matrizen K^n×n (n ≥ 1) über einem Körper K einen Ring mit Einselement bilden. In der Vorlesung wurden dann die Gruppeneigenschaften der additiven und multiplikativen Gruppe gezeigt. Auf den Nachweis der Distributivitätseigenschaften wurde aber verzichtet.
Zeigen Sie, dass für beliebige Matrizen A, B, C ∈ K^n×n gilt:
A · (B + C) = (A · B) + (A · C)

Um ehrlich zu sein fehlt mir anscheinend jegliches Verständnis dafür. Ich weiß zwar was Matrizen sind, allerdings kann ich nichts mit Ringen, Unterringen anfangen und ich verstehe auch nicht wirklich, was im zweiten Teil gefragt ist.

Ich bin über Lösungen / Lösungswege sehr dankbar.

Answer 1

allerdings kann ich nichts mit Ringen, Unterringen anfangen

Das sind Mengen von Objekten mit gewissen Verknüpfungen, bei denen

bestimmte Gesetze (Ringaxiome) gelten.

Für einen Unterring ist es allerdings einfach, musst du nur zeigen:

1. die Menge ist nicht leer.  Es geht ja nicht um EINE Matrix, sondern

alle von Typ

a   0
0   b

Da gehört jedenfalls die Nullmatrix dazu, also Menge nicht leer.

2. wenn man zwei davon addiert, entsteht wieder eine vom gleichen Typ. Dem ist so:

a   0       +      x  0           =    a+x    0
0   b               0   y                   0     b+y

also Ergebnis vom gleichen Typ. Den Typ könnte man in Worten so beschreiben:

Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind 0.

3.  Multiplikation mit einer Zahl k liefert auch wieder

eine Matrix von diesem Typ. In der Tat

k  *       a  0         =    k*a    0
             0  b                0     k*b

denn k*0 gibt ja im Ergebnis auch 0.

Und für die zweite Aufgabe stell dir einfach Matrizen vor wie   A =

    a11 , .. a1n
  

   an1 . ann

und entsprechend B und C und berechne sowohl

A · (B + C)  also  auch  (A · B) + (A · C) und du

wirst sehen: gibt bei beiden das gleiche Ergebnis. q.e.d.

Comments

Vielen Dank für die Antwort, jedoch hätte ich doch noch ein paar Fragen :p

1. Was ist eine Nullmatrix?

2. Bei dem 2. Ringaxiom hast du geschrieben "wenn man zwei davon addiert, entsteht wieder eine vom gleichen Typ", meinst du mit Typ eine 2×2-Matrix? Also wenn beide eine 2×2 Matrix sind, ist das Axiom erfüllt, oder wie ist das gemeint?

3. Was bedeutet am Ende deiner Antwort "q.e.d."?

Danke schon mal für weitere Antworten.

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1. Was ist eine Nullmatrix?

Eine, bei der alle Einträge 0 sind.

2. Bei dem 2. Ringaxiom hast du geschrieben "wenn man zwei davon addiert, entsteht wieder eine vom gleichen Typ", meinst du mit Typ eine 2×2-Matrix?

Nein, bei deiner Aufgabe ist der "Typ":  oben rechts und unten links

steht jeweils eine 0.

3. Was bedeutet am Ende deiner Antwort "q.e.d."? Ist so ein Zeichen für

Beweis zu Ende, kommt aus dem Lateinischen

quod erat demonstrandum.

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Achso verstehe, aber wieso ist der "Typ" bei meiner Aufgabe oben rechts und unten links? Kommt es darauf an, wo Nullen stehen oder ist das allgemein bei allen Matrizen so?

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Das steht so in der Aufgabenstellung:

 {\( \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \) | a,b ∈ ℝ }

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Also betrachtet man sozusagen die, die nicht Element von ℝ sind?

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???  Ich verstehe das so:   z.B.

3  0
0  4    ist so eine Matrix

3  1
0  4    ist NICHT von diesem Typ, weil rechts oben keine 0 steht.

Das sind doch alles Matrizen aus ℝ^2x2  , also

" nicht in R "  ist da nix.

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Danke, ich sitze ganz zufällig an den selben Aufgaben. Hast mir sehr geholfen

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Ich habe es jetzt auch verstanden denke ich, vielen Dank für die Hilfe

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Wäre es so korrekt?

Für die erste Teilaufgabe:

1. zz M != Leere Menge  

Sei Matrix m1 vom Typ
a  0
0  b 
mit a,b element R

und weiter seien  a = 0, b = 0

dann ist
m =
0  0
0  0 
eine Nullmatrix,die dem geforderten Typ entspricht und deshalb element von M

//Darf man das so sagen oder macht das keinen Sinn ? :D Ein Verweis oder eine Erklärung diesbezüglich wären wirklich toll!

2. Addition
Seien, 

m1=
a  0
0  b 

und   

m2=
x  0
0  y

elemente von M 

Dann:

m1+m2 =
a+x  0
0  b+y

entspricht dem geforderten Typ und ist somit auch  element von M

3. Multiplikation

Sei wieder m1 und sei weiter k element R  (  oder N ? )

Dann:

k*m1 =
k*a  k*0
k*0  k*b

=
k*a  0
0  k*b

entspricht dem geforderten Typ und ist somit auch  element von M