Zeige oder widerlege, dass wenn f stetig mit f(x)=f(x2) in [0,1], dann ist f konstant

Question

Ich folgende Aussage zeigen oder widerlegen:

Wir haben eine stetige Funktion f: [0,1]→ℝ, welche die Eigenschaft f(x)=f($x^{2}$) für alle x∈[0,1] hat. Daraus folgt, dass f konstant ist.

Ich habe das Gefühl, dass das nicht stimmt und suche die ganze Zeit Gegenbeispiele, kann aber keine finden. Hoffe mir kann jemand helfen.

Comments

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Answer 1

Aloha :)

Wegen $x\in[0|1]$ kannst du aus $x$ beliebig oft die Quadratwurzel ziehen, ohne den Definitionsbereich zu verlassen und es ist:$$f(x)=f(\sqrt x)=\cdots=f\left(x^{\frac{1}{2n}}\right)\quad;\quad n\in\mathbb N$$Für alle $x\in(0;1]$ gilt dann:$$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f\left(x^{\frac{1}{2n}}\right)=f(1)=\text{const}$$

Für alle $0<x\le1$ muss die Funktion also konstant sein. Für $x=0$ gilt diese Folgerung zunächst nicht. Da die Funktion aber nach Voraussetzung stetig ist, muss auch $f(0)=f(1)$. Daher ist die Aussage korrekt, die Funktion muss konstant sein.

Comments

Wenn $f$ auf dem Intervall $(0,1)$ konstant und auf $[0,1]$ stetig ist, kann $f(0)$ nicht beliebig sein.

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Ah, die Stetigkeit habe ich übersehen... Danke, dann haben wir das fehlende Puzzleteil. Ich ergänze das noch in meiner Antwort.