Sie Aufgaben sind aus einer Probeklausur für das Fach Mathematik, wir bekommen keine Lösungen. Damit ich mir sicher bin / meine Fehler finden kann würde ich mich über Lösungswege freuen. Da handschriftliche Notizen verboten sind, versuche ich meinen Ansatz kurz anzureißen. Vielen Dank.
Aufgabe:
a) Ist das Bild einer linear unabhängigen Teilmenge stets linear unabhängig? Begründen
Sie Ihre Behauptung.
b) Erläutern Sie mit eigenen Worten die lineare Äquivalenz.
c) Sei ϕ : A → B eine K-lineare Abbildung und U ein Untervektorraum von A. Beweisen
Sie oder widerlegen Sie U = ϕ^(−1) (ϕ(u)) − Kern(ϕ), u ∈ U
d) Beweisen Sie oder widerlegen Sie, dass die Menge U := {
(x, y) ∈ R^(2): (x/y) ≥ 0} ein Untervektorraum von R^(2) ist.
e) Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und ϕ : V → V eine K-lineare Abbildung.
Beweisen Sie oder widerlegen Sie, dass das neutrale Element der Addition der Definitionsmenge auf das neutrale Element der Addition der Zielmenge abgebildet wird.
f) Sei ϕ : A → B eine K-lineare Abbildung und U ein Untervektorraum von A. Beweisen
Sie oder widerlegen Sie, dass ϕ^(−1) (ϕ(u)) = U + Kern(ϕ), u ∈ U, gilt.
Problem/Ansatz:
a) Ich denke, dass die Antwort nein lautet, jedoch fällt mir momentan kein Gegenbeispiel ein.
b) linear: eine Linie/ ein konstanter Anstieg/ ...
Äquivalenz: Aus A folgt B und umgekehrt oder wenn A, dann B und wenn nicht A, dann auch nicht B
bei dem Rest haben ich leider zu viele veschiedene Lösungen oder Ansätze, die alle nicht wirklich erfolgreich waren.
