Minimalpolynom von x^6+x^3+2

Question

Aufgabe:

Ich habe die Matrix

1	1	2	2	2	2
1	1	1	1	1	2
2	0	1	1	2	2
1	0	2	0	2	1
0	1	2	2	2	1
2	1	0	2	0	1

in Z₃^(6x6)

nun habe ich das charakteristische Polynom berechnet: x⁶ +x³ +2

Nun soll ich im allgemeinen die f-invarianten Teilräume bestimmen und brauche nach Beispiel aus der VL nun das Minimalpolynom  
Problem/Ansatz:

Und an diesem Punkt hänge ich gerade einfach und komme nicht auf das Minimalpolynom, ich weiß das, dass char. Polynom keine Nullstelle in Z_3 besitzt

Comments

Nach meinen Berechnungen ist \(x^6+x^3+2=(x^2+x+2)^3\) in \((\mathbb Z/3\mathbb Z)[x]\).

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und was wäre demnach das Minimalpolynom ?

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Falls dein charakteristisches Polynom korrekt ist, bleiben für das Minimalpolynom nur drei Möglichkeiten.

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Ich hoffe mal das es korrekt ist. dann wäre das Minimal Polynom doch das gleiche wenn ich es ausprobiere

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Du kannst deine Ergebnisse selbst kontrollieren:

https://sagecell.sagemath.org/

F3 = FiniteField(3)

A = Matrix(F3, [[1,1,2,2,2,2],
                [1,1,1,1,1,2],
                [2,0,1,1,2,2],
                [1,0,2,0,2,1],
                [0,1,2,2,2,1],
                [2,1,0,2,0,1]])

P = charpoly(A)
print(P)

f = P.factor()
print(f)

p = f[0][0]
print(p)

print("p(A):")
print(p(A))

print("p^2(A):")
print((p**2)(A))

print("p^3(A):")
print((p**3)(A))