Anzahl der Permutationen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Wir betrachten die Permutationsgruppe \( S_{n} \).
(a) Wieviele Permutationen \( \sigma \in S_{6} \) gibt es, die \( \sigma^{2}=e \) mit \( \sigma \neq e \) erfüllen? Dabei bezeichne \( e \) die Identität in \( S_{n} \).
(b) Es seien \( \sigma \) und \( \tau \) aus \( S_{8} \) in Zyklendarstellung gegeben:
$$ \sigma=(123)(456)(78) \quad \text { und } \quad \tau=(1357)(26)(4)(8) $$
Ermitteln Sie die Zyklendarstellung für \( \sigma \tau, \tau \sigma, \sigma^{2}, \tau^{2}, \sigma^{-1} \) und \( \tau^{-1} \).

Ich habe folgendes Problem mit der Aufgabe:

Ich weiß, wie ich die Anzahl der Permutationen berechne (6! = 720). Ich weiß nur nicht, was mit der Bedingung in (a) gemeint ist.

Ich würde mich freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.

Answer 1

Es gibt Permutationen, die wenn man sie zweimal anwendet, die Identität ergeben. (Diese Permutationen nennt man auch selbstinvers.)

Du suchst also σ∈S₆ mit der Eigenschaft σ(σ(n))=n.

Anschaulich vertauscht du mittels σ und machst diese Vertauschung, indem du σ nochmal anwendest wieder rückgängig, so dass du insgesamt nicht getauscht hast.

Grüße,

Algebravo