Matrizengleichungen umstellen/ umformen

Question

Aufgabe:

Seien B,C,D reelle 3x3 Matrizen. Löse folgende Gleichungen nach X auf:

a) B ( X - I) D = C

b) ( ( B^-1 )^T X- I ) B^T = I

Das I steht hier für die Einheitsmatrix.

Problem/Ansatz:

Ich bin zum ersten Mal mit solchen Aufgaben konfrontiert und weiß überhaupt nicht was ich hier machen soll.

Bei a) bin ich folgendermaßen vorgegangen:

B ( X - I) D = C      |*B^-1

I ( X - I) D = C B^-1   |* D^-1

I ( X - I) I = C B^-1 D^-1 |+I

X = C B^-1 D^-1  + I

Ist das richtig so oder bin ich da auf dem Holzweg?

Comments

das ist falsch B^-1 wird von links multipliziert

Answer 1

Aloha :)

Du bist auf dem richtigen Weg. Du musst allerdings darauf achten, dass man bei der Multiplikation von Matrizen die beiden Matrizen nicht vertauchen darf: \(A\cdot B\ne B\cdot A\).

$$\left.B(X-I)D=C\quad\right|\cdot B^{-1}\text{ von links}$$$$\left.(X-I)D=B^{-1}C\quad\right|\cdot D^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.X-I=B^{-1}CD^{-1}\quad\right|+I$$$$\left.X=B^{-1}CD^{-1}+I\quad\right.$$

$$\left.((B^{-1})^TX-I)B^T=I\quad\right|\cdot (B^T)^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.(B^{-1})^TX-I=(B^T)^{-1}\quad\right|+I$$$$\left.(B^{-1})^TX=(B^T)^{-1}+I\quad\right|B^{T}\text { von links}$$$$\left.B^T(B^{-1})^TX=B^T\left((B^T)^{-1}+I\right)\quad\right|\text{verwende }(B^{-1})^T=(B^T)^{-1}$$$$\left.B^T(B^T)^{-1}X=B^T(B^T)^{-1}+B^T\,I\quad\right.$$$$X=I+B^T$$

Comments

Aloha,

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Eine Sache noch... woran erkenne ich ob es links oder rechts multipliziert wird?

Gehe ich da immer vom X aus? Also links oder rechts von X?

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Wenn eine Matrix rechts vom \(X\) steht, musst du mit der Inversen von rechts multiplizieren, damit diese "auf die andere Seite" wechselt:$$X\cdot A=B\implies X\cdot \underbrace{A\cdot A^{-1}}_{=I}=B\cdot A^{-1}\implies X=B\cdot A^{-1}$$

Entsprechend musst du von links multiplizieren, wenn die "störende" Matrix links von \(X\) steht:$$A\cdot X=B\implies \underbrace{A^{-1}\cdot A}_{=I}\cdot X=A^{-1}\cdot B\implies X=A^{-1}\cdot B$$

Die Reihenfolge, in der du aufeinanderfolgende Matrizen multiplizierst, ist egal. Du darfst nur nicht zwei Matrizen vertauschen:

$$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot(B\cdot C)\quad\text{aber:}\quad A\cdot B\ne B\cdot A$$