Doppelintegral mit Bruch 1/(x+y)^2

Question

Aufgabe:

Hey Mathelounge,

ich bin im Moment in der Lernphase für die nächste Klausur und habe bei einer Aufgabe keine Idee:

Ich soll das Integral

\( \int\limits_{I}^{} \) \( \frac{1}{(x+y)^{2}} \)d(x,y)

berechnen, für I := [1,2] x [3,4] .

Wäre nett, wenn mir jemand Hilfestellungen geben könnte.

Problem/Ansatz:

\( \int\limits_{3}^{4} \)(\( \int\limits_{1}^{2} \) \( \frac{1}{(x+y)^{2}} \)dx)dy

Wenn ich die Funktion umschreibe zu:

\( (x+y)^{-2} \), kann ich ja einfach integrieren zu \( \frac{-1}{(x+y)} \)

Dann \( \int\limits_{3}^{4} \) \( \frac{-1}{2+y} \)-\( \frac{-1}{1+y} \)dy, aber danach komme ich nicht weiter.

123vier

Answer 1

Aloha :)

Da die Integrationsgrenzen nicht von einer der Integrationsvaribalen abhängen, kannst du die Reihenfolge, in der du die Integrale berechnest, frei wählen. Wir integrieren zuerst nach \(dx\) und anschließend nach \(dy\):

$$A=\int\limits_{y=3}^4\;\int\limits_{x=1}^2\frac{1}{(x+y)^2}\,dx\,dy=\int\limits_{3}^4\left[-\frac{1}{x+y}\right]_{x=1}^2dy=\int\limits_{3}^4\left(-\frac{1}{2+y}+\frac{1}{1+y}\right)dy$$$$\phantom{A}=\left[-\ln|2+y|+\ln|1+y|\right]_{3}^4=\left(-\ln6+\ln5\right)-\left(-\ln5+\ln4\right)$$$$\phantom{A}=2\ln5-\ln6-\ln4=\ln25-\ln24=\ln\frac{25}{24}\approx0,040822$$