Doppelintegral mit nicht konstanten Grenzen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Integral:

$$\int_0^4 \int_x^{\sqrt{8-x^2}} \frac{1}{5+x^2+y^2} \mathrm{d}y\mathrm{d}x$$

Problem/Ansatz:

Ich habe erst daran gedacht die Integrationsreihenfolge zu vertauschen und komme auf das folgende Doppelintegral:

$$\int_0^{\sqrt{8}} \int_{\sqrt{8-y^2}}^y \frac{1}{5+x^2+y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

Damit komme ich aber auch nicht wirklich weiter.

Comments

Bist du sicher, dass die Obergrenze $4$ für das $dx$-Integral stimmt?

Wegen $\sqrt{8-x^2}$ sollte $x\le\sqrt8$ gelten.

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Stimmt das ist eigentlich eine 2 und keine 4. Aber bei der Lösung der umgestellten Grenzen sollte das jetzt keine Auswirkung haben.

Answer 1

Aloha :)

Das Integral ist in kartesischen Koordinaten $(x;y)$ unangenehm zu berechnen.

Daher schlage ich die Verwendung von Polarkoordinaten vor:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$Die Integrationsgrenzen schränken uns die möglichen Intervalle für $r$ und $\varphi$ ein. Auf Nachfrage wurde klar gestellt, dass $x\in[0;2]$ liegt. Aus den Grenzen für $dy$ folgt dann:$$x\le y\le\sqrt{8-x^2}\stackrel{x\ge0}{\implies} x^2\le y^2\le8-x^2\stackrel{+x^2}{\implies}2x^2\le x^2+y^2\le8\implies$$$$2(r\cos\varphi)^2\le(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2\le8\implies2r^2\cos^2\varphi\le r^2\le 8$$Wegen $x=r\cos\varphi\ge0$ ist $\cos\varphi\ge0$, sodass aus der ersten Relation folgt:$$2r^2\cos^2\varphi\le r^2\implies\cos^2\varphi\le\frac12\stackrel{(\cos\varphi\ge0)}{\implies}0\le\cos\varphi\le\frac{1}{\sqrt2}\implies\varphi\in\left[\frac\pi4\,;\;\frac\pi2\right]$$Aus der zweiten Relation folgt:$$r^2\le8\implies r\in[0;\sqrt8]$$

Damit können wir das Integral in Polarkoordinaten formulieren:$$I=\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=x}^{\sqrt{x^2-8}}\frac{1}{5+x^2+y^2}\,dx\,dy=\int\limits_{r=0}^{\sqrt8}\;\int\limits_{\varphi=\frac\pi4}^{\frac\pi2}\frac{1}{5+r^2}\,r\,dr\,d\varphi=\frac12\int\limits_0^{\sqrt8}\frac{2r}{5+r^2}\,dr\int\limits_{\varphi=\frac\pi4}^{\frac\pi2}d\varphi$$Beim ersten Integral steht die Ableitung des Nenners im Zähler, sodass wir es sofort hinschreiben können. Das zweite Integral ist klar:$$I=\frac12\left[\ln|5+r^2|\right]_0^{\sqrt8}\cdot\left[\varphi\right]_{\pi/4}^{\pi/2}=\frac12\left(\ln(13)-\ln(5)\right)\cdot\frac\pi4=\frac\pi8\,\ln\left(\frac{13}{5}\right)$$

Answer 2

Der Wechsel der Integrationsreihenfolge scheint kaum was zu bringen. Man hat ganz analoge Integrale zu lösen.

Warum beginnst du nicht einfach mal schrittweise ?  Hinweis: man braucht bestimmt mal die ArcusTangens-Funktion, verbunden mit geeigneten Substitutionen.