Aloha :)
Das Integral ist in kartesischen Koordinaten \((x;y)\) unangenehm zu berechnen.
Daher schlage ich die Verwendung von Polarkoordinaten vor:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$Die Integrationsgrenzen schränken uns die möglichen Intervalle für \(r\) und \(\varphi\) ein. Auf Nachfrage wurde klar gestellt, dass \(x\in[0;2]\) liegt. Aus den Grenzen für \(dy\) folgt dann:$$x\le y\le\sqrt{8-x^2}\stackrel{x\ge0}{\implies} x^2\le y^2\le8-x^2\stackrel{+x^2}{\implies}2x^2\le x^2+y^2\le8\implies$$$$2(r\cos\varphi)^2\le(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2\le8\implies2r^2\cos^2\varphi\le r^2\le 8$$Wegen \(x=r\cos\varphi\ge0\) ist \(\cos\varphi\ge0\), sodass aus der ersten Relation folgt:$$2r^2\cos^2\varphi\le r^2\implies\cos^2\varphi\le\frac12\stackrel{(\cos\varphi\ge0)}{\implies}0\le\cos\varphi\le\frac{1}{\sqrt2}\implies\varphi\in\left[\frac\pi4\,;\;\frac\pi2\right]$$Aus der zweiten Relation folgt:$$r^2\le8\implies r\in[0;\sqrt8]$$
Damit können wir das Integral in Polarkoordinaten formulieren:$$I=\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=x}^{\sqrt{x^2-8}}\frac{1}{5+x^2+y^2}\,dx\,dy=\int\limits_{r=0}^{\sqrt8}\;\int\limits_{\varphi=\frac\pi4}^{\frac\pi2}\frac{1}{5+r^2}\,r\,dr\,d\varphi=\frac12\int\limits_0^{\sqrt8}\frac{2r}{5+r^2}\,dr\int\limits_{\varphi=\frac\pi4}^{\frac\pi2}d\varphi$$Beim ersten Integral steht die Ableitung des Nenners im Zähler, sodass wir es sofort hinschreiben können. Das zweite Integral ist klar:$$I=\frac12\left[\ln|5+r^2|\right]_0^{\sqrt8}\cdot\left[\varphi\right]_{\pi/4}^{\pi/2}=\frac12\left(\ln(13)-\ln(5)\right)\cdot\frac\pi4=\frac\pi8\,\ln\left(\frac{13}{5}\right)$$
