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Es seien \( n, m \in \mathbb{N}, U \subseteq \mathbb{R}^{n} \) und \( V \subseteq \mathbb{R}^{m} \) offen sowie \( F: U \rightarrow V \) und \( G: V \rightarrow U \) total
differenzierbar mit \( G \circ F=\mathrm{id}_{U} \) und \( F \circ G=\mathrm{id}_{V} \). Zeigen Sie, dass dann bereits \( m=n \) gelten muss.
Hinweis: Eine Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times m} \) heißt invertierbar, falls es eine Matrix \( B \in \mathbb{R}^{m \times n} \) gibt, welche \( A B=I_{n} \) und \( B A=I_{m} \) (Einheitsmatrix der Dimension \( n \) bzw. \( m \) ) erfüllt. Verwenden Sie die Tatsache, dass jede invertierbare Matrix quadratisch ist (d.h. es gilt \( m=n \) ).

Wie könnte ich hier vorgehen um das zu zeigen, stehe gerade ein wenig auf dem Schlauch.

von

Differenziere \(G \circ F\) und \(F \circ G\) mit Hilfe der Kettenrege. Dann fertig mit dem Hinweis.

Gruß Mathhilf


Das ist ja dann
(DG)(F(a))*(DF)(a)
und
(DF)(G(a))*(DG)(a). Ist mir nicht klar wie man dann den Hinweis anwenden kann...

Dann beachte, dass Du eine Information über diese Verknüpfungen noch nicht verwendet hast.

hmmm vlt übersehe ich noch was offensichtliches


Die Verknüpfung abgeleitet ist ja die Nullmatrix n*n bzw. m*m. (weil die identitätsmatrix abgeleitet die Nullmatrix ist)


Wahrscheinlich wollen wir zeigen, dass (DG)(F(a)) ein invertierbare Matrix ist


soweit der Gedankengang richtig?

eil die identitätsmatrix abgeleitet die Nullmatrix ist)

Nein. Richtig ist: \(DI=I\).

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