Beweisen Sie mittels vollständigen Induktion (1+1/n)n ≤ ∑k=0n 1/k!

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

Für alle n∈N gilt

(1+1/n)ⁿ  ≤\( \sum\limits_{k=0}^{n}{1/k!} \)

Problem/Ansatz:

Beim Induktionsanfang ich kann irgendwie nicht beweisen, dass es wahr ist.

könnte mir jemand helfen?

Wäre super, danke im Voraus!

Answer 1

Für den Induktionsanfang musst du n=1 einsetzten.

Auf der linken Seite hast du (1+(1/1))^1=2

und auf der rechten

Summe von k=0 bis 1 für die Folge 1/k!

für k=0 ist die Folge 1/0! = 1/1 = 1

und für k=1 ist die Folge 1/1! = 1

1+1=2 und siehe:

2 ist kleiner gleich 2, somit ist der Induktionsanfang richtig