Zeigen Sie mithilfe der vollständigen Induktion:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mithilfe der vollständigen Induktion:
Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 gilt:

$\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=n \cdot 2^{n-1}$

Comments

Den Induktionsanfang hast du ???

Damit geht es nämlich immer los.

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Den Induktionsanfang habe ich schon gemacht, bei der Beweis weiß ich nicht was genau soll ich machen

Answer 1

Weiter so:

Nimm an, dass für ein n die Beh.gilt

$\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=n \cdot 2^{n-1}$

(Induktionsannahme)  und zeige (mit den bekannten

Formeln etc.) , dass es dann auch

für n+1 gilt, etwa so :

$\sum \limits_{k=1}^{n+1} k \cdot\left(\begin{array}{l}n+1 \\ k\end{array}\right)$

$\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n+1 \\ k\end{array}\right) + (n+1) \cdot\left(\begin{array}{l}n+1 \\ n+1\end{array}\right)$

$\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n+1 \\ k\end{array}\right) + (n+1)$

$=\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot(\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ k-1\end{array}\right)) + (n+1)$  

$=\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) +\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k-1\end{array}\right) + (n+1)$

Bei der 2. Summe den Index verschieben.

$=\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) +\sum \limits_{k=0}^{n-1} (k+1)\cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) + (n+1)$

Bei der 2. Summe ist der erste Summand 1 , also

$=\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) +1+\sum \limits_{k=1}^{n-1} (k+1) \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) + (n+1)$

Summen angleichen

$=\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) +\sum \limits_{k=1}^{n} (k+1) \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) -(n+1) + (n+1)$

$=2 \cdot \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) +\sum \limits_{k=1}^{n} \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) +1$

Jetzt die Ind.annahme

$=2 \cdot n \cdot 2^{n-1} + \sum \limits_{k=1}^{n} \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) +1$

Jetzt die Ind.annahme
$=n \cdot 2^{n} + (2^{n} -1) +1 = (n+1) \cdot 2^n$

Comments

Beim Angleichen der Summen war noch ein Fehler drin.

Hab ich korrigiert.