Aloha :)
Die gesuchte Matrix können wir mit zwei Transformationsmatrizen darstellen:$${_{B'}}M_{B'}={_{B'}}\operatorname{id}_{B}\cdot{_{B}}M_{B}\cdot{_B}\operatorname{id}_{B'}$$Ein von rechts multiplizierter Vektor wird zunächst von der Basis \(B'\) in die Basis \(B\) transformiert. Dann wirkt die Abbildungsmatrix \({_B}M_B\) auf ihn. Schließlich wird das Ergebnis von der Basis \(B\) wieder in die Basis \(B'\) transformiert.
Da die beiden Transformations-Matrizen invers zueinander sind gilt:$${_{B'}}M_{B'}=\left({_{B}}\operatorname{id}_{B'}\right)^{-1}\cdot{_{B}}M_{B}\cdot{_B}\operatorname{id}_{B'}$$
Da weiter \({_B}M_{B}\) bis auf den Faktor \(\lambda\) gleich der Einheitsmatrix \(E\) ist, gilt weiter:
$${_{B'}}M_{B'}=\left({_{B}}\operatorname{id}_{B'}\right)^{-1}\cdot(\lambda\cdot E)\cdot{_B}\operatorname{id}_{B'}=\lambda\cdot\left({_{B}}\operatorname{id}_{B'}\right)^{-1}\cdot{_B}\operatorname{id}_{B'}=\lambda\cdot E$$
Damit entpuppt sich Antwort (b) als richtig.
