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Aufgabe:

Es sei die Funktion
$$f : \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}, \quad\left(x_{1}, \ldots, x_{4}\right) \mapsto x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+5 x_{1} x_{2}+\sqrt{3} x_{3} x_{4}$$ sowie die Hessematrix $$hess\vec { x } =\begin{pmatrix} 2 & 5 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & \sqrt { 3 }  \\ 0 & 0 & \sqrt { 3 }  & 8 \end{pmatrix}$$


gegeben.

$$Finden\quad Sie\quad eine\quad symmetrische\quad Matrix\quad \quad A\in { R }^{ 4\times 4\quad  }{ so,\quad dass\quad  }f(\vec { x } )=\vec { x } ^{ T }A\vec { x } $$
Problem/Ansatz:

könnte mir bitte Jemand erklären, wie ich diese Aufgabe beantworten kann. Ich finde einfach keinen Ansatz.

Vielen Dank

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Beste Antwort

Vielleicht indem Du die Hälfte von dem was Du Heesematrix nennst nimmst?

Avatar von 21 k

Hallo wächter,

darüber habe ich auch schon nachgedacht, da ich mal so etwas in der Vorlesung gehört habe (kurzer Kommentar) allerdings wüsste ich nicht warum dies gilt.

Weiter kann ich ja schlecht $(x_1,x_2,x_3,x_4)^T*{A}^{4,4}*(x_1,x_2,x_3,x_4) rechnen, jedenfalls würde ja nichts sinnvolles bei rauskommen?


Liebe Grüße

Anja

Doch, da kommt genau das "raus" was Du Du brauchst.

Stichworte dyadisches Produkt und Bilinearform...

Ich stehe etwas auf dem Schlauch, wie soll das gegen, man kann doch keine 4x1 Vektor mit einer 4x4 Matrix multiplizieren?


$$\vec { x } ^{ T }A\vec { x } =\quad \left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \\ { x }_{ 4 } \end{matrix} \right) *\begin{pmatrix} 1 & \frac { 5 }{ 2 }  & 0 & 0 \\ \frac { 5 }{ 2 }  & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \\ 0 & 0 & \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  & 4 \end{pmatrix}*({ x }_{ 1 }{ ,x }_{ 2 }{ ,x }_{ 3 }{ ,x }_{ 4 })$$


Lg

Anja

Zuerstmal musst Du das Produkt umgekehrt aufschreiben - der Transponierte x-Vektor "liegt" und der Vektor x selbst "steht" - dann klappt das auch mit der Multiplikation

x(1,4) A(4,4) x(4,1)

Ach ich stehe wirklich auf dem Schlauch danke dir!

Zwei Fragen hätte ich aber noch.

Schreibt man den transponierten Vektor (x,y,z)^5 mit Komma oder eher ohne?

Und wie kommt man gerade darauf die HessMatrix durch zwei zu teilen um eine symmetrische Matrix zu bekommen?

Die Schreibweise ist Konvention und solange sie eindeutig zu interpretieren ist wäre es mir egal....

Nun das Produkt xT A x verteilt die quadratischen Faktoren xi2 auf die Diagonale aii und die gemischten Faktoren xi xj verteilen sich auf 2 Matrixelemente aij = aji (i<>j).

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