Lineare Abbildung L: R3 -> R2 definiert durch 3 Lösungsmengen. Dadurch vierte Lösungsmenge bestimmen, wie?

Question

Aufgabe:

Die lineare Abbildung $L: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ sei definiert durch
$\begin{array}{c} L\left(\left[\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right], \\ L\left(\left[\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right], \\ L\left(\left[\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right] . \\ \text { Berechnen Sie } L\left(\left[\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] . \end{array}$

Problem/Ansatz:

also bei der o.g. Aufgabe soll ich nun x_1, x_2 bestimmen. Ich steh grad irgendwie aufm Schlauch, wie gehe ich hier vor?

x_1 = 6

x_2 = -2

sind die Lösungen. Aber ich kann's nicht herleiten..

Answer 1

Hallo :-)

Nutze aus, dass du eine lineare Abbildung hast. Damit musst du nur den Vektor $\begin{pmatrix}4\\2\\-2 \end{pmatrix}$ durch die drei Vektoren $\begin{pmatrix}2\\0\\0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0\\-1\\0 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}0\\-2\\1 \end{pmatrix}$ aus deiner Aufgabe linear kombinieren.

Comments

Du meinst, dass ich

4

2

-2

 = a1 * v1 + a2 * v2 + a3* v3 setze und das LGS löse?

Dann komme ich auf a1 = 2, a2 = 2 & a3 = -2

Aber inwiefern kann ich damit weiterarbeiten? Und auf x1, x2 schließen?

Danke und LG!

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Also ich habs jetzt gelöst.. und bin auch auf die richtigen Werte gekommen, indem ich wie folgt vorgegangen bin:

Ich bin davon ausgegangen, dass wenn eine R(3-1) Matrix zu einer R(2-1) Matrix wird, die R(3-1) wohl mit einer R(2-3) Matrix multipliziert wurde. Ich hab dann entsprechend immer R(2-3)*R(3-1) = R(2-1) als LGS hingeschrieben und die Variabeln einzeln gelöst. Das war aber relativ mühsam und hat Zeit gekostet. Gibt es einen einfacheren Weg?

Danke und LG!

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Hmmm, das klingt für mich nicht so viel einfacher. Ok, dann nochmal meins ausführlicher:

Linearkombination lautet nach deiner (richtigen) Berechnung:

$\begin{pmatrix}4\\2\\-2 \end{pmatrix}=2\cdot \begin{pmatrix}2\\0\\0 \end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\0 \end{pmatrix}+(-2)\cdot \begin{pmatrix}0\\-2\\1 \end{pmatrix}$.

Jetzt nur noch in $L$ einsetzen:

$L\left(\begin{pmatrix}4\\2\\-2 \end{pmatrix}\right)=L\left(2\cdot \begin{pmatrix}2\\0\\0 \end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\0 \end{pmatrix}+(-2)\cdot \begin{pmatrix}0\\-2\\1 \end{pmatrix}\right)$.

Ab hier Linearität ausnutzen und die bekannten Bildvektoren nutzen. Fertig.

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Ach, jetzt versteh ich was du meintest..

x1 = 2*1 + 2*2 - 2*0 = 6

x2 = 2*(-2) + 2*(1) - 2*0 = -2

Das ist natürlich weitaus fixer. Ich danke dir!