Lineare Abbildung und Abbildungsvorschrift

Question

Aufgabe:

(Lineare Abbildungen)

(a) Es sei \( V \) ein \( \mathbb{F} \)-Vektorraum. Zu einer linearen Abbildung \( f: V \rightarrow V \) existiere eine Abbildung \( g: V \rightarrow V \), sodass \( g \circ f \) und \( f \circ g \) jeweils die identische Abbildung sind. Ist dann \( g \) ebenfalls linear? Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Begründen Sie, weshalb es genau eine lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gibt mit
\(f(1,1,0)=(2,0), \quad f(1,0,1)=(1,1), \quad f(0,0,1)=(-1,0)\)
und bestimmen Sie ihre Abbildungsvorschrift.

Answer 1

(a) Sei \(\mathcal{B}\) eine Basis von \(V\) und \(v\in V\) mit

(1)        \(v = \sum\limits_{b\in \mathcal{B}}a_b\cdot b\).

Weil \(f\) linear ist, folgt aus (1), dass

(2)        \(f(v) = \sum\limits_{b\in \mathcal{B}}a_b\cdot f(b)\)

ist. Weil \(g\circ f = \operatorname{id}\) ist, ist

(3)        \(g(f(w)) = w\qquad \forall w\in V\).

Aus (2) und (3) folgt

(4)        \(g\left(\sum\limits_{b\in \mathcal{B}}a_b\cdot f(b)\right)=v\).

Aus (1) und (3) folgt

(5)        \(v = \sum\limits_{b\in \mathcal{B}}a_b\cdot g(f(b))\).

Aus (4) und (5) folgt

        \(g\left(\sum\limits_{b\in \mathcal{B}}a_b\cdot f(b)\right) = \sum\limits_{b\in \mathcal{B}}a_b\cdot g(f(b))\).

Somit ist \(g\) linear auf \(\operatorname{Bild} f\).

(b) {(1,1,0), (1,0,1), (0,0,1)} ist eine Basis von ℝ³.

Answer 2

Zu a)

Sei \(f(x)=f(y)\). Dann folgt

\(x=id(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(f(y))=(g\circ f)(y)=id(y)=y\).

Also ist \(f\) injektiv.

Da \(f\) linear ist, gilt

\(f(g(x+y)-g(x)-g(y))=f(g(x+y))-f(g(x))-f(g(y))=x+y-x-y=0\), also

\(g(x+y)-g(x)-g(y)=0\), d.h. \(g(x+y)=g(x)+g(y)\)

\(g(cx)=cg(x)\) für einen Skalar \(c\) zeigt man entsprechend.

Zu b)

Man hat

(1,0,0)=(1,0,1)-(0,0,1),

(0,1,0)=(1,1,0)-(1,0,1)+(0,0,1), wegen der Linearität gilt daher

f(1,0,0)=f((1,0,1)-(0,0,1))=f(1,0,1)-f(0,0,1)=(1,1)-(-1,0)=(2,1).

f(0,1,0)=f(1,1,0)-f(1,0,1)+f(0,0,1)=(2,0)-(1,1)+(-1,0)=(2,-1).

Damit ergibt sich allgemein

f(x,y,z)=xf(1,0,0)+yf(0,1,0)+zf(0,0,1)=(2x+2y-z, x-y).