Epsilon Umgebung und innerer Punkt

Question

ich lerne gerade die ε Umgebung.

Ich bin gerade beim inneren Punkt und habe dazu zwei Beispiele die ich leider nicht verstehe.

Ich verstehe hierbei nicht, wieso X offen bzw. nicht offen oder abgeschlossen bzw. Nicht abgeschlossen ist.

Und wieso ist bei ii) x0=3 kein innerer Punkt?

Liebe Grüße

Answer 1

X ist offen ist gleichbedeutend mit:

Jeder Punkt ist innerer Punkt von X     oder

Um jeden Punkt gibt es eine Umgebung, die ganz in X enthalten ist.

Also ist bei (i) die Menge offen.

Und abgeschlossen heißt:

Das Komplement ist offen. Bei (i) enthält das Komplement von X

z.B. die 3, aber jede Umgebung von 3 enthält sowas wie 3-ε, was

nicht im Komplement von X liegt. Also ist 3 kein innerer Punkt

des Komplementes und deshalb ist dieses nicht offen,

X selber also nicht abgeschlossen.

Entsprechend ist 3 kein innerer Punkt bei (ii) da z.B.

sowas wie 3+ε nicht in X liegt. Also ist X NICHT (Abschreibfehler?)

offen.

Comments

Dankeschön, war ja einfacher als gedacht

Aber noch eine Frage hätte ich:

Also ist offen gleichbedeutend mit abgeschlossen?

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Übrigens hatte ich tatsächlich einen abschreibfehler

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Nein, abgeschlossen ist gleichbedeutend mit

Das Komplement ist offen.