ist alles richtig, bis auf einen Schreibfehler.
Du hast beim Rangsatz stehen:
\( \dim(B) = def(B) + rg(B) \)
Du hast dann \(def(B) \implies = kern(B)\) darunter geschrieben, was so aber falsch ist. Richtig ist
\(def(B) = \dim(kern(B))\).
Den letzten Schritt, wo du \(\dim(Bild(B))\) berechnet hast, kannst du weglassen, denn es gilt
\( rg(B) = \dim(Bild(B))\).
Das folgt sofort aus den beiden Formulierungen der Rangsätze. Die erste Formulierung ist
\(\dim(B) = \dim(kern(B)) + \dim(Bild(B))\)
und die zweite ist
\( dim(B) = def(B) + rg(B) \).
Setzen wir die beiden Gleichungen gleich und beachten, dass \(def(B) = \dim(kern(B))\) gilt, erhalten wir sofort die Gleichheit.
Zur Frage, was es mit dem Begriff "Abbildungsmatrix" auf sich hat, schauen wir uns mal folgende Funktion an:
\(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \ (x,y,z) \mapsto \begin{pmatrix} 2x + 4y + 6z \\ x + 2y + 3z \\ 4x + 8y + 12z \end{pmatrix}\).
Dann gilt mit \(e_i := i\)-ter Einheitsvektor im \(\mathbb{R}^3\):
\(f(e_1) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\(f(e_2) = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}\)
\(f(e_3) = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}\).
Diese Vektoren sollten dir bekannt vorkommen. Das sind nämlich die Spalteneinträge deiner gegebenen Matrix \(B\).
Wir erhalten auf diese Weise dann für \(f\) auch die Schreibweise
\(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, v:=(x \ y \ z)^T \mapsto \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 8 & 12 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} \). Diese Matrix nennen wir dann auch die Abbildungsmatrix von \(f\). Die sind auch unter dem Begriff Darstellungsmatrix bekannt.
In der Aufgabe ist dann nun gefragt, was wir über die Dimension des Kerns und des Bildes der Abbildung \(f\) sagen können, die \(B\) als Abbildungsmatrix hat.
Lg
