Bild, Kern und Rang einer Matrix. Wieviele Vektoren der Matrix spannen das Bild auf?

Question

wollte kurz fragen ob ich Rang, Bilder und Kern  einer Matrix richtig verstanden habe. Und mein Vorgehen zur berechnen  korrekt wäre.

Rang, , ist die Anzahl linearer unabhäniger Zeilen/Spaltenvektoren. Einfach gesagt, kann ich ihn berechnen in dem Ich meine Matrix in die Zeilenstufen-From bringe, er ist die anzahlt der NichtNullzeilen.
 Außerdem gibt er Aufschluss ob meine Matrix invertierbar ist (regulär)

Kern. die Dimension des Kern kann ich nun durch den zuvor bestimmten Rang ablesen, denn Spaltenanzahl d.Matrix = dim.Bildes (Rang) +Kern => Kern = Spaltenanzahl-Rang

ab hier bin ich mir unsicher, wie gebe ich mein Bild an? bzw. wie viele Vekoren müssen das sein?
Kann ich  die Vekoren aus der zum Rang gebildeten Zeilenstufenform  ablesen oder sind es die Vekoren aus meiner ganz normalen Matrix? die Anzahl der Vekoren hier für entspricht oder dem Rang oder liege ich falsch? Allgemein kann ich dann nun das Bild so angeben span={ (v1), (v2) }

Ich wäre um Hilfe echt dankbar, und es wäre super wenn ihr es mir ganz "einfach" erklären würdet, weil ich aus den fachlichen Mathebüchern und Matheseiten nicht schlauer geworden bin. :)

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ab hier bin ich mir unsicher, wie gebe ich mein Bild an? bzw. wie viele Vekoren müssen das sein? 

Das Bild wird von den Spaltenvektoren der Matrix aufgespannt.

Weil du den Rang schon hast, brauchst du als Basis des Bildes einfach genau so viele linear unabhängige Spaltenvektoren deiner Matrix und dann die Mengenschreibweise, um den ganzen Bildraum zu beschreiben.

Answer 1

Das Bild wird von den Spaltenvektoren der Matrix aufgespannt.

Weil du den Rang schon hast, brauchst du als Basis des Bildes einfach genau so viele linear unabhängige Spaltenvektoren deiner Matrix und dann die Mengenschreibweise, um den ganzen Bildraum zu beschreiben. z.B.

B = span{ (v1), (v2) }         

oder

B = {v Element R^{…} | v = xv1 + yv2 , x,y Element R }

span ist selbst keine Menge. Aber span macht aus v1 und v2 die richtige Menge. Dein Gleichheitszeichen war also noch am falschen Ort.

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Achso super vielen Dank Lu!
Also wenn ich das richtig verstanden habe, gibt mir die Zeilenstufenform, die ich für die Bestimmung des Rangs bereits entwickelt habe,  die  Anzahl linear unabhäniger Spaltenvektoren , sodass ich für die Basis des Bildes dann die jeweiligen Vektoren aus der erzeugten Zeilenstufenform rausschreiben kann ? Heißt wenn man Rang = 2 ist dann brauch ich für das bild, zwei Spaltenvektoren oder? 

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Ja. Wähle aber 2 linear unabhängige Spaltenvektoren.

Nicht gerade Spalte (1,1,1,4) und dazu noch Spalte (2,2,2,8).

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Echt vielen vielen Dank! Ich weiß normal würde es jemdem die Haare sträuben so wie ich das eben beschrieben habe, eben nicht mathematisch genug und zu schwammig, darum danke nochmal dass du drauf eingegangen bist! =)