Gegeben sind die Ebene E und die Gerade g...Schnittpunkt, Abstand berechnen.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Ebene \( E \) und die Gerade \( g \) durch

\( E: x=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right), \quad g: x=\left(\begin{array}{c} 1 \\ \gamma \\ 1 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ \gamma \end{array}\right) \)

wobei die Gerade \( g \) von einem Parameter \( \gamma \in \mathbb{R} \) abhängt. Für welche \( \gamma \in \mathbb{R} \) sind \( E \) und \( g \) parallel? Berechnen Sie in diesem Fall den Abstand und andernfalls den Schnittpunkt.

Bei der Lösung wird die Hesssche Normalenform gebildet. Gibt es auch eine andere Vorgehensweise? Was muss ich machen?

Answer 1

Die HNF ist bestimmt die Methode der Wahl.

Ohne HNF:

Setze einfach die beiden Gleichungen komponentenweise gleich.
So bekommst du ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten r,s, t und GAMMA(y).

Nun musst du GAMMA so wählen, dass das LGS keine Lösung hat.

(I) 1-t+s = 1      → t=s

(II) 1 + 2t + 3s = y + 2r
(III) 0 + 3t + 2s= 1 + ry

-------------------------------- rechne (III)-(II)

     1-t + s = (y+2r)-(1+ry)
Wegen (I)
1 = y+2r -1-ry

2-2r = y -ry

2(1-r) = y(1-r)

Falls r=1 oder y=2 sind die beiden Seiten gleich.
Ist r≠1 und y≠2, so gibt es keinen Schnittpunkt. Gerade und Ebene sollten parallel sein.

Aber du musst dann immer noch relativ viel rechnen (Speziell ohne HNF).