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Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f (x) = 4x – ½ x^2, (x ∈ ℝ)

a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f (x) und die Normale „n (x)“ zum Graphen f (x) im Punkt P (2/ f (2)).

b) Beweisen Sie: Die Normale „n (x)“ schneidet die Koordinatenachsen so, dass sie mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck mit dem Flächeninhalt = 49 bildet.

c) Welche Stammfunktion F von f (x) hat bei x = 2 eine Nullstelle?

d) Um welchen Wert müsste die Normale „n (x)“ in „y“-Richtung verschoben werden, damit sie den Graphen von f (x) berührt?

Avatar von

Willst Du das wissen was im Titel steht (nur c) oder das was weiter unten in der Aufgabe steht (a bis d)?

Bitte, Lösubgsweg für die ganze Aufgabe

Vielen Dank

Nur den Lösungsweg oder auch die Lösung?

4 Antworten

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a. n(2) = (x-2)*f '(2) +f(2)

b. Berechne n(x)= 0 = a und n(0) =b

A= a*b/2

c. F(x) = 2x^2 -1/6*x^3+C

F(2) =0

2*2^2-1/6*2^3+C = 0

C= -8+8/6 = -48//6 + 8/6 = -40/6 = -20/3

d. ...

Avatar von 81 k 🚀

Na, ja, Danke für die Resultaten

Aber ich brauche deteilierten Lösungsweg zu der ganzen Aufgabe ...

Schöne Grüsse

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a) Skizze

~plot~ 4x-0.5x^2;-0.5(x-2)+6;-0.5(x-2)+9.125;2(x-2)+6;[[0|16|0|11]] ~plot~

b)
A = 1/2·7·14 = 49

c)
F(x) = 2·x^2 - 1/6·x^3 - 20/3

d)
3.125

Avatar von 477 k 🚀

Schönen Dank für den profi Graph, aber ich konnte ihn selbelber zeichnen ...

Bitte um ausfürlichen/ deteilierten Rechenweg der weiteren Aufgaben

Vielen Dank im Voraus

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f (x) = 4x – ½ x^2
Stammfunktionen
s ( x ) =  4 * x^2 / 2 - 1/2 * x^3 / 3 + c
s ( x ) =  2 * x^2  - 1/6 * x^3  + c
Nullstelle bei x = 2
s ( 2 ) =  2 * (2)^2  - 1/6 * (2)^3  + c = 0
c = - 20 / 3

Avatar von 122 k 🚀
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\( f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x \)

\( f^{\prime}(x)=-x+4 \)

\( f^{\prime}(z)=2 \)

\( f(2)=6 \)

\( \left( \begin{array}{l} 2 \cdot m_{n}=-1 \\ \Rightarrow m_{n}=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow n_{t}(x)=-\frac{1}{2} x+t \end{array} \right) \)


b) \( 6=-\frac{1}{2} \cdot 2+t \quad n(x)=-\frac{1}{2} x+7 \)

\( t=7 \quad 0=n(x) \)

\( \Rightarrow s_{7}(0|7) \quad \Rightarrow S_{x}(14 | 0) \)

\( A_{\Delta}=0,5 \cdot 7 \cdot 14 \)

\( A_{\Delta}=49 F E \)


c) \( F_{c}(x)=-\frac{1}{6} x^{3}+2 x^{2}+c \)

\( 0=-\frac{1}{6} \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{2}+c \)

\( \Rightarrow c=-\frac{20}{3} \)

\( F(x)=-\frac{1}{6} x^{3}+2 x^{2}-\frac{20}{3} \)


d) \( -\frac{1}{2} x+7+ \Delta y=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x \)

\( 0=-\frac{1}{2} x^{2}+4,5 x-(7+ \Delta y) \)

Diskrimin. \( =b^{2}-4 \cdot a \cdot c \quad \) (Wenn \( D=0 \), dann 1SP)

\( 0=4,5^{2}-4 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot(-7-\Delta y) \)
\( 0=4,5^{2}-14 - 2 \Delta y \)
\( \Delta y=3,125 \)

Der Graph muss um 3,125 Einheiten nach oben verschoben werden.

\( \Rightarrow n(x)=-\frac{1}{2} x+17,125 \)

Avatar von

Lieber Matymat,
herzlichen Dank für die gute und ausführliche Lösungswege, speziell Aufg, 1/d.)
Sie müssten nur den „y“-Achsenabschnitt in Ihrer letzten „n(x)“-Gleichung bei 1/d.) korrigieren.
Beste Wünsche

Hi, danke für das Feedback.

Der y-Achsenabschnitt sollte eigentlich bei 10,125 sein.

Ich glaube dann sollte es passen.


Gruß Mat

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